【话题作文】
第一篇:《一个整数的约数个数与约数和的计算方法》
一个整数的约数个数与约数和的计算方法,两数的最大公约数与最小公倍数之间的关系,分数的最小公倍数.涉及一个整数的约数,以及若干整数最大公约数与最小公倍数的问题,其中质因数分解发挥着重要作用．
1.数360的约数有多少个?这些约数的和是多少?
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【分析与解】 360分解质因数:360=2×2×2×3×3×5=2×3×5；
360的约数可以且只能是2×3×5,(其中a,b,c均是整数,且a为0～3,6为0～2,c为0～1)．
因为a、b、c的取值是相互独立的,由计数问题的乘法原理知,约数的个数为(3+1)×(2+1)×(1+1)=24．
22
我们先只改动关于质因数3的约数,可以是l,3,3,它们的和为(1+3+3),所以所有360约数的和为(1+3+3)×2×5；
我们再来确定关于质因数2的约数,可以是l,2,2,2,它们的和为(1+2+2+2)，所以所有360约数的和为(1+3+3)×(1+2+2+2)×5；
2
2
3
2
3
2
3
2
abc
yw
w
最后确定关于质因数5的约数,可以是1,5,它们的和为(1+5),所以所有360的约数的和
223
为(1+3+3)×(1+2+2+2)×(1+5)．
于是,我们计算出值:13×15×6=1170． 所以,360所有约数的和为1170．
评注:我们在本题中分析了约数个数、约数和的求法.下面我们给出一般结论：
I.一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后,将每个质因数的指数(次数)加1后
32
所得的乘积.如:1400严格分解质因数后为2×5×7,所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24个.(包括1和它自身)
Ⅱ.约数的和是在严格分解质因数后,将M的每个质因数最高次幂的所有约数的和相乘
3323
所得到的积．如：21000=2×3×5×7,所以21000所有约数的和为(1+2+2+2)×
23
(1+3)×(1+5+5+5)×(1+7)=74880．
2.一个数是5个2,3个3,6个5,1个7的连乘积.这个数有许多约数是两位数,那么在这些两位数的约数中,最大的是多少?
536
【分析与解】 设这个数为A,有A=2×3×5×7,99=3×3×11,98=2×7×7,97均不是A的约数,而96=25×3为A的约数,所以96为其最大的两位数约数．
3.写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数．
【分析与解】 一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后,将每个质因数的指数
32
(次数)加1后所得的乘积.如:1400严格分解质因数后为2×5×7,所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24个.(包括1和它自身)
如果某个自然数有奇数个约数,那么这个数的所有质因子的个数均为偶数个.这样它们加1后均是奇数,所得的乘积才能是奇数.而所有质因数的个数均是偶数个的数为完全平方数.即完全平方数(除0外)有奇数个约数,反过来,有奇数个约数的数一定是完全平方数． 由以上分析知,我们所求的为360～630之间有多少个完全平方数?
18×18=324,19×19=361,25×25=625,26×26=676,所以在360～630之间的完全平方数
2222222
为19,20,21,22,23,24,25．
即360到630的自然数中有奇数个约数的数为361,400,441,484,529,576,625．{8.75693E,18}.
4.今有语文课本42册,数学课本112册,自然课本70册,平均分成若干堆,每堆中这3种课本的数量分别相等.那么最多可分多少堆? 【分析与解】 显然堆数是42的约数,是112的约数,是70的约数.即为42,112,70的公约数,有(42,112,70)=14．
所以,最多可以分成14堆．
5.加工某种机器零件,要经过三道工序,第一道工序每名工人每小时可完成6个零件,第二道工序每名工人每小时可完成10个零件,第三道工序每名工人每小时可完成15个零件.要使加工生产均衡,三道工序最少共需要多少名工人? 【分析与解】 为了使生产均衡,则每道工序每小时生产的零件个数应相等,设第一、二、三道工序上分别有A、B、C个工人,有6A=10B=15C=k,那么k的最小值为6,10,15的最小公倍数,即[6,10,15]=30．
所以A=5,B=3,C=2,则三道工序最少共需要5+3+2=10名工人．
6.有甲、乙、丙3人,甲每分钟行走120米,乙每分钟行走100米,丙每分钟行走70米.如果3个人同时同向,从同地出发,沿周长是300米的圆形跑道行走,那么多少分钟之后,3人又可以相聚?
【分析与解】 设在x分钟后3人再次相聚,甲走了120x米,乙走了lOOx米,丙走了70x米,他们3人之间的路程差均是跑道长度的整数倍．
即120x-100x,120x-70x,lOOx-70x均是300的倍数,那么300就是20x,50x,30x的公约数．
有(20x,50x,30x):300,而(20x,50x,30x)=x(20,50,30)=lOx,所以x=30．
即在30分钟后,3人又可以相聚．{8.75693E,18}.
7.3条圆形跑道,圆心都在操场中的旗杆处,甲、乙、内3人分别在里圈、中圈、外圈沿同样的方向跑步.开始时,3人都在旗杆的正东方向,里圈跑道长跑道长
11
千米,中圈跑道长千米,外圈54
31
千米.甲每小时跑3千米,乙每小时跑4千米,丙每小时跑5千米.问他们同时出发,82
几小时后,3人第一次同时回到出发点? 【分析与解】 甲跑完一圈需
11211
3小时,乙跑一圈需4小时,丙跑一圈需5235416
332135则他们同时回到出发点时都跑了整数圈,所以经历的时间为,,的倍数,即840351640
它们的公倍数．
而
2,1,366. 213
,,
35164035,16,41
所以,6小时后,3人第一次同时回到出发点.
评注:求一组分数的最小公倍数,先将这些分数化为最简分数,将分子的最小公倍数作为新分数的分子,将分母的最大公约数作为新分数的分母,这样得到的新分数即为所求的最小公倍数；
求一组分数的最大公约数,先将这些分数化为最简分数,将分子的最大公约数作为新分数的分子,将分母的最小公倍数作为新分数的分母,这样得到的新分数即为所求的最大公约数.
8.甲数和乙数的最大公约数是6最小公倍数是90.如果甲数是18,那么乙数是多少？ 【分析与解】 有两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两数的乘积.有它们的最大公约数与最小公倍数的乘积为6×90=540，则乙数为540÷18=30．
9.A,B两数都仅含有质因数3和5,它们的最大公约数是75.已知数A有12个约数，数B有10个约数，那么A,B两数的和等于多少?
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【分析与解】 方法一:由题意知A可以写成3×5×a，B可以写成3×5×6,其中a、b为整数且只含质因子3、5.
即A:3×5,B=3+m×5,其中x、Y、m、n均为自然数(可以为0) 由A有12个约数,所以[(1+x)+1]×[ (2+y)+1]=(2+x)×(3+y)=12，
所以
1+x
2+y
1
2+n
x2x1x01+221+12+1
.对应A为3×5=675,3×5=1125,或,或
y0y1y4
3×5=46875；
由B有10个约数,所以[(1+m)+1]×[(2+n)+l]=(2+m)×(3+n):10,所以
1+0
2+2
1+02+4
m0
.对应B
n2
为3×5=1875．
只有(675,1875)=75,所以A=675,B=1875． 那么A,B两数的和为675+1875=2550． 方法二:由题中条件知A、B中有一个数质因数中出现了两次5,多于一次3,那么,先假设它出现了N次3,则约数有:(2+1)×(N+1)：3×(N+1)个
32
12与10其中只有12是3的倍数,所以3(N+1)=12,易知N=3,这个数是A，即A=3×5=675． 那么B的质数中出现了一次3,多于两次5,则出现了M次5,则
4
有:(1+1)×(M+1)=2(M+1)=10，M=4.B=3×5=1875．
那么A,B两数的和为675+1875=2550．
10.有两个自然数,它们的和等于297,它们的最大公约数与最小公倍数之和等于693.这两个自然数的差等于多少?
【分析与解】 设这两数为a,b,记a=(a,b)q1,b=(a,b)q2． 它们的和为:a+b=(a,b)ql+(a,b)q2=(a,b)(q1+q2)=297"""① 它们的最大公约数与最小公倍数的和为：
[a,b]+(a,b)=(a,b)qlq2+(a,b)=(a,b)(qlq2+1)=693，
且(q1,q2)=1.""""""""""""""""""""""""②
综合①、②知(a,b)是297,693的公约数,而(297，693)=99,所以(a,b)可以是99,33,1l,9,3,1．
第一种情况:(a,b)=99,则(q1+q2)=3,(qlq2+1)=7,即qlq2=6=2×3,无满足条件的ql,q2；
第二种情况:(a,b)=33,则(q1+q2)=9,(q1q2+1)=21,即q1q2=20=2×5,则ql=5,q2=4时满足,a=(a,b)q1=33×5=165,b=(a,b)q2=33×4=132,则a-b=165-132=33；
第三种情况:(a,b)=11,则(q1+q2)=27,(q1q2+1)=63,即qq2=62=2×31,无满足条件的q1,q2；
一一验证第四种情况，第五种情况，第六种情况没有满足条件的q1q2． 所以,这个两个自然数的差为33．
11.两个不同自然数的和是60，它们的最大公约数与最小公倍数的和也是60.问这样的自然数共有多少组?
【分析与解】 设这两数为a,b,记a=(a,b)q1,b=(a,b)q2．
它们的和为:a+b=(a,b)q1+(a,b)q2=(a,b)(ql+q2)=60""""① 它们的最大公约数与最小公倍数的和为：
2
[a,b]+(a,b)=(a,b)q1q2+(a,b)=(a,b)(q1q2+1)=60，
且(q1,q2)=1"""""""""""""""""""""""""② 联立①、②有(ql+q2)=(q1q2+1),即ql+q2-qlq2=1,(ql-1)(1-q2)=0,所以ql=1或q2=1． 即说明一个数是另一个数的倍数,不妨记a=kb(k为非零整数)，
abkbb60 有,即k1b60确定，则k确定，则kb即a{8.75693E,18}.
a,ba,bbabkb60
确定
60的约数有2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60这11个，b可以等于2，3，4，5，6，10．12，15，20，30这10个数，除了60，因为如果6=60，则(k+1)=1，而k为非零整数．
对应的a、b有10组可能的值，即这样的自然数有10组．
进一步，列出有(a,b)为(58,2),(57,3),(56,4),(55,5),(54,6),(50,10)，(48,12),(45,15),(40,20), (30,30)．
评注:如果两个自然数的和等于这两个数最大公约数与最小公倍数的和，那么这两个数存在倍数关系．
12.3个连续的自然数的最小公倍数是9828,那么这3个自然数的和等于多少?
【分析与解】 若三个连续的自然数中存在两个偶数,那么它们的最小公倍数为三个数乘积的一半；
若三个连续的自然数中只存在一个偶数,那么它们的最小公倍数为三个数的乘积． 则当a,a+1,a+2中有2个偶数时,a(a+1)(a+2)=9828×2， 当a,a+1,a+2中有1个偶数时,a(a+1)(a+2)=9828．
对9828分解质因数:9828=2×2×3×3×3×7×13,我们注意,13是其最大的质因数,验证不存在3个连续的自然数的积为9828．
则这三个自然数的积只能是9828×2,此时这三个数中存在两个偶数,有9828×2=2×2×2×3×3×3× 7×13．
13×2=26,有26,27,28三个数的积为9828×2,所以这三个连续的自然数为26,27,28,其中有两个偶数,满足题意．
所以,这三个数的和为26+27+28=81．
评注:我们知道两个连续的自然数互质,而两个互质的数的公倍数等于它们的积,即[0,b]=a×b．
记这3个连续的自然数为a,a+1,a+2． 有[a,a+1,a+2]=[a,a+1,a+1,a+2]=[[a,a+1],[a+1,a+2]]=[a×(a+1)，(a+1)×(a+2)]=(a+1)× [a,a+2]．
因为a,a+2同奇同偶，
aa2
当a,a+2均是偶数时,a,a+2的最大公约数为2,则它们的最小公倍数为；
2
第二篇:《土力学习题及答案》
《土力学》习题
第一章 土的物理性质及工程分类
选择题
1.土颗粒的大小及其级配，通常是用颗粒级配曲线来表示的。级配曲线越平缓表示： A．土颗粒大小较均匀，级配良好 B.土颗粒大小不均匀，级配不良 C. 土颗粒大小不均匀，级配良好 2.作为填土工程的土料，压实效果与不均匀系数Cu的关系：{8.75693E,18}.
A．Cu大比Cu小好 B. Cu小比Cu大好 C. Cu与压实效果无关
3.有三个同一种类土样，它们的含水率w都相同，但是饱和度Sr不同，饱和度Sr越大的土，其压缩性有何变化？
A.压缩性越大 B. 压缩性越小 C. 压缩性不变
4.有一非饱和土样，在荷载作用下，饱和度由80%增加至95%。试问土样的重度γ和含水率w怎样改变？
A．γ增加，w减小 B. γ不变，w不变 C. γ增加，w增加 5.土的液限是指土进入流动状态时的含水率，下述说法哪种是对的？ A．天然土的含水率最大不超过液限 B. 液限一定是天然土的饱和含水率
C. 天然土的含水率可以超过液限，所以液限不一定是天然土的饱和含水率 判断题
6.甲土的饱和度大与乙土的饱和度，则甲土的含水率一定高于乙土的含水率
7.粘性土的物理状态是用含水率表示的，现有甲、乙两种土，测得它们的含水率w甲w乙，则可以断定甲土比乙土软
8.土的液性指数IL会出现IL>0或IL<0的情况 9.土的相对密实度Dr会出现Dr>1或Dr<1的情况 10.土的天然重度越大，则土的密实性越好 计算题
11.击实试验，击实筒体积1000cm2，测得湿土的质量为1.95kg，取一质量为17.48kg的湿土，烘干后质量为15.03kg，计算含水率w和干重度rd。
12.已知某地基土试样有关数据如下：①天然重度r=18.4 kN/m3，干密度rd=13.2 kN/m3；
②液限试验，取湿土14.5kg，烘干后质量为10.3kg；③搓条试验，取湿土条5.2kg，烘干后质量为4.1kg，求（1）土的天然含水率，塑性指数和液性指数；（2）土的名称和状态。 13.从A，B两地土层中个取粘性土进行试验，恰好其液塑限相同，液限wl=45%，塑限
wp=30%，但A地的天然含水率为45%，而B地的天然含水率为25%。试求A，B两地的
地基土的液性指数，并通过判断土的状态，确定哪个地基土比较好。 14.已知土的试验指标为r=17 kN/m3，Gs=2.72，和w=10%，求 е和r。 15试证明以下关系：{8.75693E,18}.
S
wrs(1n)rs
srdr{8.75693E,18}.
rwn1e （1） （2）
16.土样试验数据见下表，求表内的“空白”项的数值
第二章 土中水的运动规律
选择题
1. 1. 已知土体比重Gs=2.7，孔隙比e=1，则该土的临界水力坡降为多少 A.1.70 B.1.35 C.0.85
2.下列有关于影响土体渗透系数的因素中描述正确的为①粒径大小和级配;②结构与孔隙比;③饱和度;④矿物成分;⑤渗透水的性质
A.①②对渗透系数有影响 B. ④⑤对渗透系数无影响 C. ①②③④⑤对渗透系数均无影响
3.下述关于渗透力的描述正确的为:①其方向与渗透方向一致;②其数值与水头梯度成正比;③是一种体积力.
A.①②正确 B. ①③正确 C. ①②③都正确
4.下列哪一种土更容易发生流砂?
A.粗砂或砾砂 B.细砂或粉砂 C.粉土
5.在9cm厚的粘性土层上进行开挖,下面为砂层,砂层