【 – 写作指导】
第一篇:《线面垂直的证明中的找线技巧》
线面垂直的证明中的找线技巧
通过计算，运用勾股定理寻求线线垂直
1 如图1，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M为CC1 的中点，AC交BD于点O，（Ⅰ）求证：AO1
平面MBD．（Ⅱ）求MA1BD的体积
练习1：如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD2AD
8，AB2DC
（Ⅰ）设M是PC上的一点，证明：平面MBD平面PAD； （Ⅱ）求四棱锥PABCD的体积．
练习2、已知ABCD是矩形，PA平面ABCD，AB2，PAAD4，E为BC的中点． 求证：DE平面PAE；
P
M
D
A
C
B
利用面面垂直寻求线面垂直
例2 如图2，P是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC．求证：BC⊥平面PAC．
SA⊥平面ABCD，练习3 如图１所示，ABCD为正方形，过A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD
于E，F，G．求证：AESB，AGSD．
应用等腰(等边)三角形三线合一性质
所谓三线合一的性质是等腰三角形底边的中线同时是高和角分线,可以很轻松的得到线线垂直,从而为证明线面垂直做了很好的准备工作.
P例3：如图2所示，已知PA垂直于O所在平面，AB是O的直径，
C是O的圆周上异于A、B的任意一点，且PAAC，点E是线段PC的中点.求证：AE平面PBC.
EAO图2
B
应用两条平行线的性质
大家知道两条平行线中如果有一条与一个面中的直线垂直,则两条平行线都与平面中的直线垂直. 在三角形中位线与底边平行,可以得到线线平行的关系,平行四边形对边平行也可以得到线线平行,这样的结论很多,我们可以欣赏体会这样的方法.
例3:如图3所示,P为△ABC所在平面外一点, BC平面PAB,G为PB的中点,M为PC的中点,N在AB上,AN3NB,求证:AB平面MNG. P
M
G A
H
N
图3
应用平面图形的几何性质
我们都发现在立体几何问题的解决中,平面图形的性质产生了很重要的地位,在学习立体几何的过程中,平面几何的诸多知识点不能推广到三维空间,但同学们要注意平面图形的性质在解决立体几何的时候会发挥很重要的作用.
例4:如图4所示,四边形ABCD是边长为1的菱形,点P是菱形ABCD所在平面外一点， ∠BCD60,E是CD的中点,PA平面ABCD,求证:BE⊥平面PAB.
P
D
AC
图4
4 如图２，在三棱锥Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，
作BE⊥CD，Ｅ为垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求证：AH⊥平面BCD． 证明：取AB的中点Ｆ，连结CF，DF． ∵ACBC，∴CFAB．
∵ADBD，∴DFAB．
又CFDFF，∴AB平面CDF． ∵CD平面CDF，∴CDAB． 又CDBE，BEABB，
∴CD平面ABE，CDAH．
∵AHCD，AHBE，CDBEE，
∴ AH平面BCD．
评注：本题在运用判定定理证明线面垂直时，将问题转化为证明线线垂直；而证明线线垂直时，又转化为证明线面垂直．如此反复，直到证得结论．
5 如图３，AB是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点，PA平面ABC．若AE⊥PC ，Ｅ为垂足，Ｆ是PB上任意一点，求证：平面AEF⊥平面PBC．
证明：∵AB是圆Ｏ的直径，∴ACBC． ∵PA平面ABC，BC平面ABC， ∴PABC．∴BC平面APC． ∵BC平面PBC， ∴平面APC⊥平面PBC．
∵AE⊥PC，平面APC∩平面PBC＝PC， ∴AE⊥平面PBC．
∵AE平面AEF，∴平面AEF⊥平面PBC．
评注：证明两个平面垂直时，一般可先从现有的直线中寻找平
面的垂线，
即证线面垂直，而证线面垂直则需从已知条件出发寻找线线垂直的关系．
（2）【解】平面PAC⊥平面ABCD；平面PAC⊥平面PBC；平面PAD⊥平面PBD；平面PAB⊥平面ABCD；平面PAD⊥平面ABCD．
1
2．ABC—A′B′C′是正三棱柱，底面边长为a，D，E分别是BB′，CC′上的一点，BD＝2a，
EC＝a．
（1）求证：平面ADE⊥平面ACC′A′； （2）求截面△ADE的面积．
（1）【证明】分别取A′C′、AC的中点M、N，连结MN， 则MN∥A′A∥B′B，
∴B′、M、N、B共面，∵M为A′C′中点，B′C′=B′A′，∴B′M⊥A′C′，又B′M⊥AA′且AA′∩A′C′=A′
∴B′M⊥平面A′ACC′． 设MN交AE于P，
a
∵CE＝AC，∴PN＝NA＝2．
1
又DB＝2a，∴PN＝BD．
∵PN∥BD， ∴PNBD是矩形，于是PD∥BN，BN∥B′M， ∴PD∥B′M．
∵B′M⊥平面ACC′A′，
∴PD⊥平面ACC′A′，而PD平面ADE， ∴平面ADE⊥平面ACC′A′． （2）【解】∵PD⊥平面ACC′A′，
∴PD⊥AE，而PD＝B′M＝2a，
AE＝2a．
1
∴S△ADE＝2×AE×PD 132
2aaa224＝×．
1、S是△ABC所在平面外一点，SA⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC,求证AB⊥BC.
C
第二篇:《线面垂直的证明》
线面垂直的证明
方法总结：直线垂直于平面内的两条相交直线；利用面面垂直的性质；利用勾股定理逆定理；
1．如图①所示，在正方形SG1G2G3中，E、F分别是边G1G2、G2G3的中点，D是EF的中点，现沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个几何体(如图②使G1、G2、G3三点重合于一点G)，则下列结论中成立的有________(填序号)． ①SG⊥面EFG； ②SD⊥面EFG； ③EF⊥面ＳＧＤ； ④GD⊥面SEF．
2．PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，B的任一点，则下列关系正确的是________(填序号)． ①PA⊥BC；②BC⊥平面PAC；③AC⊥PB；④PC⊥BC．
3．以AB为直径的圆在平面内，PA于A，C在圆上，连PB、PC过A作有线面垂直并逐一证明。
4．如图，A1A是圆柱的母线，AB是圆柱底面圆的直径， C是底面圆周上异于求证：BC平面A1AC；
C
A
AC平面ABD5．已知，如图正方体ABCDA1B1C1D1中，求证：111
三垂线定理的运用
C
6．正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是AC的中点，在平面B1BDD1中，过B1作B1H⊥D1O，垂足为H， 求证：B1H⊥平面ACD1。
1
1
7．已知正方形ABCD的边长为1，
A—BCD，如图所示．求证：AO平面BCD；
．将正方形ABCD沿对角线BD折起，使AC1，得到三棱锥
8．如图，在四面体SABC中，SA=SB=SC，∠ASC=90°，∠ASB=∠BSC=60°，若O为AC中点，求证：BO平面SAC
9．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M为棱CC
1的中点，AC
交
BD
于点O，
求证A1O平面BDM{求证线面垂直一般要怎么下手}.
10．在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形, 侧面PAD⊥底面ABCD.求证:DC平面PAD
12、在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD。证明:AB⊥平面VAD
线线垂直
1.如图所示，PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.求证：MN⊥CD.
2．如图，一四边形ABCD的对边AB与CD、AD与BC都互相垂直，证明：AC与BD也互相垂直．
3.已知四面体ABCD中，ABAC,BDCD,平面ABC平面BCD,E为棱BC的中点。 求证:ADBC
4.如图，平行四边形ABCD中，DAB60，AB2,AD4将CBD沿BD折起到EBD的位置，
使平面EDB平面ABD。求证:ABDE
5.S是△ABC所在平面外一点，SA⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC,求证AB⊥BC.
6．如图，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC=22，M为BC的中点。
证明：AM⊥PM；
7．P为△ABC所在平面外一点，且PA、PB、PC两两垂直，则下列命题： ①PA⊥BC；②PB⊥AC；③PC⊥AB；④AB⊥BC．其中的是
8.如图，在直四棱柱A1B1C1D1-ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件A1C⊥B1D1．（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形．）
9．如图，已知SA，SB，SC是由一点S引出的不共面的三条射线，∠ASC=∠ASB=45°，
∠BSC=60°，∠SAB=90°，求证：AB⊥SC．
10．如图所示，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，BC1⊥AC，则C1在面ABC上的射影H必在（ ） A．直线AB上 B．直线BC上 C．直线CA上 D．△ABC内部
面面垂直
1.在菱形ABCD中，∠A=60°，线段AB的中点是E，现将△ADE沿DE折起到△FDE的位置，使平面FDE和平面EBCD垂直，线段FC的中点是G．（1）证明：直线BG∥平面FDE；（2）判断平面FEC和平面EBCD是否垂直，并证明你的结论．
2．如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点． 求证：（Ⅰ）CD⊥AE；（Ⅱ）PD⊥平面ABE．
3．如图，等腰梯形ABEF中，AB∥EF，AB=2，AD=AF=1 AF⊥BF，O为AB的中点，矩形ABCD所在的和ABEF互相． （1）求证：AF⊥面CBF；（2）设FC的中点为M，求证：OM∥DAF；（3）求三棱锥C-BEF的体积．
4．如图，四边形ABCD是正方形，PB⊥平面ABCD，MA⊥平面ABCD，PB=AB=2MA．求证： （1）平面AMD∥平面BPC；（2）平面PMD⊥平面PBD．
5．已知：三棱锥P-ABC，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E为垂足． （1）求证：PA⊥平面ABC；（2）当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形．
6．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足 时，平面MBD⊥平面PCD．（只要填写一个你认为是正确的条件即可）
7．如图1，矩形ABCD中，AB=2AD=2a，E为DC的中点，现将△ADE沿AE折起，使平面ADE⊥平面ABCE，如图2． （1）求四棱锥D-ABCE的体积； （2）求证：AD⊥平面BDE．
8．已知四边形ABCD，BC=BD，AC=AD，E是CD边的中点．在AE上的一个动点P，讨论BP与CD是否存在关系，并证
明你的结论．
9．如图，在长方形ABCD中，AB=2，BC=1，E为DC的中点，F为线段EC（端点除外）上一动点，现将△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC，在平面ABD内过点D作DK⊥AB，K
为垂足，设AK=t，则t的取值范围是
．
10
13.如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°． （1）求证：AC⊥平面BDE；
（2）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．
14．如图，P△ABC所在平面外一点，PA=PB，CB⊥平面PAB，M是PC中点，N是AB上的点，AN=3NB， （1）求证：MN⊥
AB；
（2）当∠PAB=90°，BC=2，AB=4时，求MN的长．
16．如图，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别为AB、PC的中点； （Ⅰ）求证：MN∥平面PAD；（Ⅱ）求证：MN⊥CD．
17.如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,AC3,BC4,AB5,AA14.
(Ⅰ)求证:ACBC1;(Ⅱ)在AB上是否存在点D,使得AC1∥平面CDB1,若存在,试给出证明;若不存在,请说明理由.
C
A