【 – 写作指导】
篇一:《线面垂直的证明中的找线技巧》
线面垂直的证明中的找线技巧
通过计算，运用勾股定理寻求线线垂直
1 如图1，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M为CC1 的中点，AC交BD于点O，求证：A1O平面MBD．
证明：连结MO，A1M，∵DB⊥A1A，DB⊥AC，A1AACA， ∴DB⊥平面A1ACC1，而A1O平面A1ACC1 ∴DB⊥A1O． 设正方体棱长为a，则A1O2
在Rt△A1C1M中，A1M
2
32
2
a，MO
2
22
34
a．
2
2
2
94
a．∵A1OMOA1M，∴AOOM1
． ∵
OM∩DB=O，∴ A1O⊥平面MBD．
评注：在证明垂直关系时，有时可以利用棱长、角度大小等数据，通过计算来证明．
利用面面垂直寻求线面垂直
2
如图2，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC．求P是△ABC所在平面外的一点，证：BC⊥平面PAC．
证明：在平面PAC内作AD⊥PC交PC于D．
因为平面PAC⊥平面PBC，且两平面交于PC，
且AD⊥PC， 由面面垂直的性质，得AD⊥平面PBC． 又∵BCAD平面PAC，
平面PBC，∴AD⊥BC．
∵PA⊥平面ABC，BC平面ABC，∴PA⊥BC． ∵AD∩PA=A，∴BC⊥平面PAC．
（另外还可证BC分别与相交直线AD，AC垂直，从而得到BC⊥平面PAC）．
评注：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直．在空间图
形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直线面垂直线线垂直．
判定
判定
线面垂直面 一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系为：线线垂直性质性质
面垂直．这三者之间的关系非常密切，可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理．同
学们应当学会灵活应用这些定理证明问题．下面举例说明．
3 如图１所示，ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，过A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于E，F，G．求证：
AESB，AGSD．
证明：∵SA平面ABCD，
∴SABC．∵ABBC，∴BC平面SAB．又∵AE平面SAB，∴BCAE．∵SC平面AEFG，∴SCAE．∴AE平面SBC．∴AESB．同理可证AGSD．
评注：本题欲证线线垂直，可转化为证线面垂直，在线线垂直与线面垂直的转化中，平面起到了关键作用，同学们应多注意考虑线和线所在平面的特征，从而顺利实现证明所需要的转化． 4 如图２，在三棱锥Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，
作BE⊥CD，Ｅ为垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求证：AH⊥平面BCD． 证明：取AB的中点Ｆ，连结CF，DF． ∵ACBC，∴CFAB．
∵ADBD，∴DFAB．
又CFDFF，∴AB平面CDF． ∵CD平面CDF，∴CDAB． 又CDBE，BEABB， ∴CD平面ABE，CDAH．
∵AHCD，AHBE，CDBEE，
∴ AH平面BCD．
评注：本题在运用判定定理证明线面垂直时，将问题转化为证明线线垂直；而证明线线垂直时，又转化为证明线面垂直．如此反复，直到证得结论．
5 如图３，AB是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点，PA平面ABC．若AE⊥PC ，Ｅ为垂足，Ｆ是PB上任意一点，求证：平面AEF⊥平面PBC．
证明：∵AB是圆Ｏ的直径，∴ACBC． ∵PA平面ABC，BC平面ABC， ∴PABC．∴BC平面APC． ∵BC平面PBC， ∴平面APC⊥平面PBC．
∵AE⊥PC，平面APC∩平面PBC＝PC， ∴AE⊥平面PBC．
∵AE平面AEF，∴平面AEF⊥平面PBC．
评注：证明两个平面垂直时，一般可先从现有的直线中寻找平面的垂线，即证线面垂直，而证线面垂直则需从已知条件出发寻找线线垂直的关系． 6. 空间四边形ABCD中，若AB⊥CD，BC⊥AD，求证：AC⊥BD
D B 证明：过A作AO⊥平面BCD于O
ABCD，CDBO 同理BC⊥DO ∴O为△ABC的垂心 于是BDCOBDAC 7. 证明：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1C⊥平面BC1D
A
C
A
证明：连结AC
BDAC
AC为A1C在平面AC上的射影
A1C平面BC1D
同理可证A1CBC1
BDA1C
8. 如图，PA平面ABCD，ABCD是矩形，M、N分别是AB、PC的中点，求证：MNAB
C
A
1
EN//DC
2 . 证：取PD中点E，则
C
A
//
ENAM AE//MN
又CDAD
CD平面PAD
PA平面AC
AE平面PAD
9如图在ΔABC中， AD⊥BC， ED=2AE， 过E作FG∥BC， 且将ΔAFG沿FG折起，使∠A'ED=60°，求证:A'E⊥平面A'BC
分析： C
弄清折叠前后，图形中各元素之间的数量关系和位置关系。 D
G解：
∵FG∥BC，AD⊥BC E
AB∴A'E⊥FG
F∴A'E⊥BC
设A'E=a，则ED=2a 由余弦定理得：
A'D2=A'E2+ED2-2A'EEDcos60° =3a2 ∴ED2=A'D2+A'E2 ∴A'D⊥A'E
∴A'E⊥平面A'BC
10如图, 在空间四边形SABC中, SA平面ABC, ABC = 90, ANSB于N, AMSC于M。求证: ①ANBC; ②SC平面ANM 分析:
①要证ANBC, 转证, BC平面SAB。
②要证SC平面ANM, 转证, SC垂直于平面ANM内的两条相交直线, 即证SCAM, SCAN。要证SCAN, 转证
AN平面SBC, 就可以了。 证明:
①∵SA平面ABC
∴SABC 又∵BCAB, 且ABSA = A ∴BC平面SAB ∵AN平面SAB ∴ANBC ②∵ANBC, ANSB, 且SBBC = B ∴AN平面SBC ∵SCC平面SBC ∴ANSC 又∵AMSC, 且AMAN = A ∴SC平面ANM
11已知如图，P平面ABC，PA=PB=PC，∠APB=∠APC=60°，∠BPC=90 °求证：平面ABC⊥平面PBC
CD//ABMNAB
AE//MN
CDAE
分析：要证明面面垂直，只要在其呈平面内找一条线，然后证明直线与另一平面垂直即可。显然BC中点D，证明AD垂直平PBC即可
证明：取BC中点D 连结AD、PD ∵PA=PB；∠APB=60° ∴ΔPAB为正三角形
同理ΔPAC为正三角形 设PA=a 在RTΔBPC中，PB=PC=a
BC=2a ∴PD=
2
22
a 在ΔABC中 AD=
2
AB
2
BD
2
=
2222222a∵AD+PD=aa
=a=AP∴ΔAPD为直角三角形即AD⊥DP又∵AD⊥BC 222∴AD⊥平面PBC
∴平面ABC⊥平面12. 如图，直角BAC在证：如图所示，AA BAC为射影 AA//BBABABAB//
AB//AB
ABAA
AAAB
AB13 以AB
AB
面AAC解：
PABCAB面AEF
篇二:《线面垂直的证明中的找线技巧》
线面垂直的证明中的找线技巧
1.通过计算，运用勾股定理寻求线线垂直
AO1如图1，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AC交BD于点O，求证：M为CC1的中点，1
平面MBD
评注：在证明垂直关系时，有时可以利用棱长、角度大小等数据，通过计算来证明．
2.利用面面垂直寻求线面垂直{怎么证明线面垂直}.
2.如图2，P是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC．求证：BC⊥平面PAC．
评注：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直．在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直线面垂直线线垂直．
一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系为：线线垂直判定判定线面垂直面面垂直．这三者之间的关系非常密切，可以互相转化，从前面性质性质
推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理
3 如图１所示，ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，过A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于E，F，G．求证：AESB，AGSD．
评注：本题欲证线线垂直，可转化为证线面垂直，在线线垂直与线面垂直的转化中，平面起到了关键作用，同学们应多注意考虑线和线所在平面的特征，从而顺利实现证明所需要的转化
4 如图２，在三棱锥Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，
作BE⊥CD，Ｅ为垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求证：AH⊥平面BCD．
评注：本题在运用判定定理证明线面垂直时，将问题转化为证明线线垂直；而证明线线垂直时，又转化为证明线面垂直．如此反复，直到证得结论
5 如图３，AB是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点，PA平面ABC．若AE⊥PC ，Ｅ为垂足，Ｆ是PB上任意一点，求证：平面AEF⊥平面PBC．
评注：证明两个平面垂直时，一般可先从现有的直线中寻找平面的垂线，即证线面垂直，而证线面垂直则需从已知条件出发寻找线线垂直的关系
篇三:《证明线面垂直》
证明线面垂直线面垂直的判定定理证明，我一直觉得证明过程太过复杂。前年曾经这样证明，今天写在这里。m和n为平面中两条相交直线，通过平移或者说原本就在，使得l经过m、n的交点O，我们只需证明l垂直与平面中的任意一条直线g 即可!在m、n上分别以O点为中点截取AC、BD，则得到平行四边形ABCD。此时不难由三角形全等的知识得到l⊥g。 答案补充
证明：已知直线L1 L22相交于O点且都与直线L垂直，L3是L1 L2所在平面内任意1条不与L1 L2重合或平行的直线(重合或平行直接可得它与L1平行) 在L3上取E、F令OE=OF， 分别过E、F作ED、FB交L2于D、B (令OD=OB)则⊿OED ≌⊿ OFB (SAS) 延长DE、BF分别交L1于A、C 则⊿OEA≌⊿OFC(ASA)(注意角AEO与角CFO的补角相等所以它们相等)。 所以OA=OC，所以⊿OAD≌⊿OBC(SAS)所以AD=CB 因为L3垂直于L1 L2所以MA=MC，MD=MB 所以⊿MAD≌⊿MCD(SSS)所以 角MAE= 角MCF 所以⊿MAE≌⊿MCF(SAS) 所以ME=MF，所以⊿MOE≌⊿MOF(SSS)，所以角MOE=角MOF 又因为 角MOE与 角MOF互补，所以角MOE=角MOF=90度，即L⊥L3 1利用直角三角形中两锐角互余证明
由直角三角形的定义与三角形的内角和定理可知直角三角形的两个锐角和等于90° ，即直角三角形的两个锐角互余。
2勾股定理逆定理
3圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角，一个三角形的一边中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形。
二、高中部分
线线垂直分为共面与不共面。不共面时，两直线经过平移后相交成直角，则称两条直线互相垂直。
1向量法 两条直线的方向向量数量积为0
2斜率 两条直线斜率积为-1
3线面垂直，则这条直线垂直于该平面内的所有直线
一条直线垂直于三角形的两边，那么它也垂直于另外一边
4三垂线定理 在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
5三垂线定理逆定理 如果平面内一条直线和平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。
2高中立体几何的证明主要是平行关系与垂直关系的证明。方法如下(难以建立坐标系时再考虑)：
Ⅰ.平行关系：
线线平行：1.在同一平面内无公共点的两条直线平行。2.公理4(平行公理)。3.线面平行的性质。4.面面平行的性质。5.垂直于同一平面的两条直线平行。
线面平行：1.直线与平面无公共点。2.平面外的一条直线与平面内的一条直线平行。3.两平面平行，一个平面内的任一直线与另一平面平行。
面面平行：1.两个平面无公共点。2.一个平面内的两条相交直线分别与另一平面平行。 Ⅱ.垂直关系：
线线垂直：1.直线所成角为90°。2.一条直线与一个平面垂直，那么这条直线与平面内的任一直线垂直。
线面垂直：1.一条直线与一个平面内的任一直线垂直。2.一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直。3.面面垂直的性质。4.两条平行直线中的一条垂直与一个平面，那么另一直线也与此平面垂直。5.一条直线垂直与两个平行平面中的一个，那么这条直线也与另一平面垂直。
面面垂直：1.面面所成二面角为直二面角。2.一个平面过另一平面的垂线，那么这两个平面垂直
线线垂直分为共面与不共面。不共面时，两直线经过平移后相交成直角，则称两条直线互相垂直。
1向量法 两条直线的方向向量数量积为0
2斜率 两条直线斜率积为-1
3线面垂直，则这条直线垂直于该平面内的所有直线
一条直线垂直于三角形的两边，那么它也垂直于另外一边
4三垂线定理 在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
5三垂线定理逆定理 如果平面内一条直线和平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。
3高中立体几何的证明主要是平行关系与垂直关系的证明。方法如下(难以建立坐标系时再考虑)：
。
篇四:《线面垂直判定经典证明题》
线面垂直判定
1、已知：如图，PA⊥AB，PA⊥AC。 求证：PA⊥平面ABC。
2、已知：如图，PA⊥AB，BC⊥平面PAC。 求证：PA⊥BC。
3、如图，在三棱锥V-ABC中，VA=VC，AB=BC。 求证：VBAC
4、在正方体ABCD-EFGH中，O为底面ABCD中心。 求证：BD平面AEGC
5、如图，AB是圆O的直径，PA⊥AC, PA⊥AB, 求证： BC⊥平面PAC{怎么证明线面垂直}.
6、如图，AD⊥BD, AD⊥DC,AD=BD=CD,∠BAC=60°
求证： BD⊥平面ADC
7、.如图所示，PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.
(1)求证：MN∥平面PAD. (2)求证：MN⊥CD. (3)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.
8、已知：如图，P是棱形ABCD所在平面外一点，且PA=PC 求证：AC平面PBD
_
_
C
9、已知四面体ABCD中，ABAC,BDCD,平面ABC平面BCD,E为棱BC的中点。 （1）求证：AE平面BCD; （2）求证：ADBC;
B
E
C
D{怎么证明线面垂直}.
10、三棱锥A-BCD中，AB=1，
AD=2，求证：AB⊥平面BCD
11、 在四棱锥S-ABCD中，SD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形
求证：AC⊥平面SBD 12、 如图，正方形ABCD所在平面与三角形CDE所在平面相交于CD，AE平面CDE，求证：AB平面ADE；
A
E
D
13、三棱锥P-ABC中，三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，H是△ABC的垂心
求证:PH底面ABC
14、正方体ABCD-A1B1C1D1中，
求证：A1C⊥平面BC1D.
_ A
_1
15、S是△ABC所在平面外一点，SA⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC,
求证AB⊥BC{怎么证明线面垂直}.
S
C
A
B
16、如图，直三棱柱ABC—A1B1C1 中，AC ＝BC ＝1， ∠ACB ＝90°，AA1 ＝2，D 是A1B1 中点． 求证C1D ⊥平面A1B ；
篇五:《线面垂直方法的总结》
线面垂直方法的总结
辽宁省大连市长海县高级中学 程聿剑
Tel:15541175086 QQ：66284693E-mail:dyslzcyj@163.com邮编：116500
(人教大纲A版 高二年级 第29期 第x版 x栏目)
我们学习了平面与直线垂直的定义、判定定理和性质定理，大家可以体会线线垂直在证明线面垂直时的重要性，将“三维”问题转化为“二维”解决是一种重要的立体几何数学思想方法.在处理实际问题过程中，可以先从题设条件入手，分析已有的垂直关系，再从结论入手分析所要证明的重要垂直关系，从而架起已知与未知的“桥梁”，同学们下面欣赏常见的线面垂直证明方法.
一、 应用勾股定理
P同学们知道如果一个三角形的边长满足
a2b2c2，则这个三角形是直角三角形，可以
得到线线垂直的关系.
例1：如图1所示，点P是梯形ABCD所在平
面外一点，PD平面ABCD，AB∥CD，已知MC
BD2AD8，AB4.设M是PC上的一{怎么证明线面垂直}.
点,求证:BD平面PAD.
证明:∵PD平面ABCD,BD平面ABCD
∴BDPD.
又∵BD8,AD4,AB45, A图1 ∴ADBDCD,∴∠ADB90,∴BDAD
又∵PD平面PAD,ADPAD,PDADD.
∴BD平面PAD.
二、 应用等腰(等边)三角形三线合一性质
所谓三线合一的性质是等腰三角形底边的中线同时是高和角分线,可以很轻松的得到线线垂直,从而为证明线面垂直做了很好的准备工作.
P例2：如图2所示，已知PA垂直于O所在平面，AB是O的直径，
且PAAC，点E是线段PC的C是O的圆周上异于A、B的任意一点，
中点.求证：AE平面PBC.
证明：∵PAO所在平面，BC是O的弦，∴BCPA.
又∵AB是O的直径，ACB是直径所对的圆周角，∴BCAC. ∵PAACA,PA平面PAC，AC平面PAC.
∴BC平面PAC，AE平面PAC，∴AEBC.
∵PAAC，点E是线段PC的中点.∴AEPC.
∵PCBCC,PC平面PBC，BC平面PBC. 222AO图2 B
∴AE平面PBC.
此题利用AE三线合一是解题的关键,在遇到线段的中点时,同学们要注意向三角形的三线合一转化.同时应用了圆的直径所对的圆周角是直角这个重要的结论，这点体现了平面几何对于立体几何的重要性.
三、 应用两条平行线的性质
大家知道两条平行线中如果有一条与一个面中的直线垂直,则两条平行线都与平面中的直线垂直. 在三角形中位线与底边平行,可以得到线线平行的关系,平行四边形对边平行也可以得到线线平行,这样的结论很多,我们可以欣赏体会这样的方法.
例3:如图3所示,P为△ABC所在平面外一点, BC平面PAB,G为PB的中点,M为PC的中点,N在AB上,AN3NB,求证:AB平面MNG.
证明:取AB的中点H,连结PH.
M ∵G为PB的中点,M为PC的中点,
∴GM为△PBC的中位线,∴GM∥BC. G ∵BC平面PAB,AB平面PAB, A ∴BCAB,∴ABGM. H 又∵PAPB,H为线段AB的中点,∴AB⊥PH. N 图3 ∵G为PB的中点, N为HB的中点,∴PH∥GN.∴AB⊥GN.
∵GMGNG,GM平面MNG,GN平面MNG,
∴AB平面MNG.
本题GM和GN分别是所在三角形的中位线, 对于证明方法有很大的帮助,同学们在后的解题中要注意根据已知条件找到平行关系是解题的关键.
四、 应用平面图形的几何性质{怎么证明线面垂直}.
我们都发现在立体几何问题的解决中,平面图形的性质产生了很重要的地位,在学习立体几何的过程中,平面几何的诸多知识点不能推广到三维空间,但同学们要注意平面图形的性质在解决立体几何的时候会发挥很重要的作用. P
例4:如图4所示,四边形ABCD是边长为1的菱形,点P
是菱形ABCD所在平面外一点，∠BCD60,E是CD的
中点,PA平面ABCD,求证:BE⊥平面PAB.
证明:∵PA平面ABCD,BE平面ABCD, D
∴BEPA,如图5所示, ∵底面ABCD是的菱形,∠BCD60, A∴∠ABD60. C ∵E是CD的中点,∴∠DBE30,
∴∠ABEBCDDBE603090, 图4 B ∴BEAB. C
∵PAABA,PA平面PAB,AB平面PAB,
∴BE⊥平面PAB.
本题菱形ABCD的性质对于解决立体几何的线面垂直有着很重要
的作用,类似这样的方法很多,所以同学们要重视平面几何定义、定理、
性质的应用.以上解题方法体现了立体几何证明的一个重要的思想方法:
立体几何平面化,即转三维问题为二维,可以合理的解决立体几何问题. E B
图5
篇六:《证明线面垂直的专项练习》
线面垂直
1：（本小题满分13分）(09广东 文）
某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示。墩的上半部分是正四棱锥PEFGH，下半部分是长方体ABCDEFGH。图5、图6分别是该标识墩的正（主）视图和俯视图。
（1）请画出该安全标识墩的侧（左）视图；（3）证明：直线BD平面PEG.
w.w.w..s.5.u.c.o.m （2）求该安全标识墩的体积；(64000)
2、(09广东 理数）如图６，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为２，点Ｅ是正方形BCC1B1的中心，点Ｆ、Ｇ分别是棱C1D1,AA1的中点．设点E1,G1分别是点Ｅ、Ｇ在平面
DCC1D1内的正投影．
（１）求以Ｅ为顶点，以四边形FGAE在平面DCC1D1内的正投影为底面边界的棱锥的体积；
（２）证明：直线FG1平面FEE1；
（３）求异面直线E1G1与EA所成角的正弦值（
） 3
3、.(11广东 理）如图5，在椎体PABCD中，ABCD是边长为1的棱形，且
DAB
600,PAPDPB2,E,F分别是BC,PC的中点，
（1） 证明：AD平面DEF
（2）求二面角PADB的余弦值。（
21
） 7
1
4. (11湖南 文 12分） 在圆锥PO
中，已知POO的
直径AB2,点C在AB上,且CAB=30,D为AC的中点． （Ⅰ）证明：AC平面POD;
（Ⅱ）求直线 OC平面PAC所成角的正弦值.（
2
） 3
5.(11北京 理）
如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2,BAD60 （1）求证：BD平面PAC
(2)PA=AB,求PB与AC所成的角的余弦值。
（3）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA 的长 （PA
6）
6．（本小题满分12分）（11褔建 文）
如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB。 （I）求证：CE⊥平面PAD；
（11）若PA=AB=1，AD=3，
，∠CDA=45°， （12）求四棱锥P-ABCD的体积 (
7.（本小题满分12分）(11天津 文）
如图，在五面体ABCDEF中，四边形ADEF是正方形，FA⊥平面ABCD，BC∥AD，CD=1，
AD=，∠BAD＝∠CDA＝45°.
（Ⅰ）求异面直线CE与AF所成角的余弦值； （Ⅱ）证明CD⊥平面ABF； （Ⅲ）求二面角B-EF-A的正切值。
2
5) 6
线面垂直
8、如图，四棱锥P
的底面是边长为1的正方形，
PACD,PA1,PD
（Ⅰ）求证:PA平面ABCD；
（Ⅱ）求四棱锥PABCD的体积. （Ⅲ）求直线PB与底面ABCD所成角的大小.
9、 已知三棱锥P—ABC中，PC底面ABC，AB=BC，D、F分别
为AC、PC的中点，DEAP于E。 （1）求证：AP平面BDE；
（2）求证：平面BDE平面BDF；
（3）若AE：EP=1：2，求截面BEF分三棱锥 P—ABC所成上、下两部分的体积比。
10、四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，边长为a，PD=a，
_ A
_ C
_ D
PA=PC=2a，
（1）求证：PD⊥平面ABCD； （2）求证，直线PB与AC垂直； （3）求二面角A－PB－D的大小.
11．如图，已知两个正四棱锥PABCD与QABCD的高分别为1和2，AB4．
P
（1） 证明PQ平面ABCD； （2） 求异面直线AQ与PB所成的角； （3） 求点P到平面QAD的距离． 12.（2012年广东理 13分）
Q
如图5所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点 E在线段PC上，PC⊥平面BDE。
（1） 证明：BD⊥平面PAC；
（2） 若PA=1，AD=2，求二面角B-PC-A的正切值； (tan3)
13.（2012
江西理12分）
在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=AC=AA1BC=4，在A1在底面ABC的投影是线段BC的中点O。
3
（1）证明在侧棱AA1上存在一点E，使得OE⊥平面BB1C1C，并求出AE的长；
（2）求平面A1B1C与平面BB1C1C夹角的余弦值。
14.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA底面ABCD，
AC=22，PA=2，E是PC上的一点，2PE=EC。
（I） 证明PC平面BED；
（II） 设二面角A-PB-C为90°，求PD与平面PBC所成角的
大小
15.（本小题满分13分）(11广东 文）
图5所示的几何体是将高为2，底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右水平平移后得到的. A，A′，B，B′分别为
'
CD,C'D',DE,D'E'的中点，O1,O1',O2,O2分别为
CD,C'D',DE,D'E'的中点.
（1）证明：O1,A,O2,B四点共面；
''
（2）设G为A A′中点，延长AO1到H′，使得O1HAO1. 证明：BO2平面HBG
'
'
'
'
'
''
'
'
'
18（本小题满分4分）(13广东 理）
如图5，在等腰直角三角形ABC中，∠A =900 BC=6,D,E分别是AC，
AB上的点，CD=BE=
错
误！未找到引用源。
，O为BC的中点.将△ADE沿DE折起，得到如图6所示的四棱椎A’-BCDE，其中A’O=?3
4
1）
证明：A’O⊥平面BCDE；
(2) 求二面角A’-CD-B的平面角的余弦值.
5
（
篇七:《线面、面面垂直的证明》
线面、面面垂直的证明
广东省珠海市斗门区第一中学 (519100) 冼虹雁
教材版本：普通高中课程标准实验教科书·数学（选修） 人民教育出版社（人教版） 年级、科目：高三数学第1轮复习课 第十章 第9课时
一、【教材分析】
近年来，立体几何高考命题形式比较稳定，题目难易适中，常常立足于棱柱、棱锥和正方体，复习是要以多面体为依托，始终把直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的性质和判定作为考查重点．在新课标教材中将立体几何难度要求进行了降低，重点在对图形及几何体的认识上，实现平面到空间的转化，是知识深化和拓展的重点，因而在这部分知识点上命题，将是重中之重．
预测2011年高考将以多面体为载体直接考查线面位置关系：
（1）考题将可能以选择题、填空题或解答题的形式出现；
（2）在考题上的特点为：热点问题为平面的基本性质，考查线线、线面和面面关系的论证，此类题目将以客观题和解答题的第一步为主；
（3）解答题多采用一题多问的方式，这样既降低了起点又分散了难点．
二、【教学目标】
知识与技能目标：（1）理解几种垂直的定义，掌握线面、面面垂直的判定定理；
（2）运用线面、面面垂直的判定定理解决问题．
过程与方法目标：（1）通过直观感知，操作确认的方法归纳、概括结论；
（2）通过探究线面、面面垂直的判定，体验空间向平面转化的数学思
想方法．
情感与态度目标：增强学生的自主探究意识，体会由特殊到一般的认知规律，培养学生互相合作的学习态度，勇于探究，积极思考的学习精神．
三、【教学重、难点】
重点：（1）掌握几种垂直的定义、判定定理、性质定理，能用文字、符号规范表述；
（2）通过线线垂直、线面垂直、面面垂直的转化提高化归转化能力．
难点：面面垂直的证明．
四、【教学思想】
以学生为主体，以教师为主导，以思维为核心，以训练为主线，以培养能力为目标．
五、【教学方法】
启发式讲解，互动式讨论，讲练结合．
六、【教学流程】
（一）基础回顾
直线与平面垂直
1．定义：如果直线l和平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l和平面互相垂直，记作l．
2．判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．
3．性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．
平面与平面垂直
1．定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
2．判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．
3．性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．
P （二）例题解析
1．线面垂直的证明
例1：如图所示，已知PA⊙O所在的平面，AB是⊙
O的直径，C是⊙O上任意一点，过A作AEPC于E．
求证：AE平面PBC．
E O B A
C PA圆O所在平面分析： BCPABC圆O所在平面BCACBC平面PAC AEBCPAACAAE平面PACAEPC AE平面PBC
PCBCC