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射飞镖学校比赛200 飞镖比赛规则

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射飞镖学校比赛200(一)

射飞镖学校比赛200(二)

射飞镖学校比赛200(三)

飞镖投射问题

1 问题的提出

在现实生活中,人们不断追求投射的准确度,而且现实生活中有很多类似的问题,然而现实生活中由于空气阻力的存在,现实中并不存在真正的斜上抛运动,并不像中学里的计算平抛运动那样简单。找到合适的投射角度和力度,对飞镖投射者来说非常重要。

2 模型的摘要

飞镖投射的角度、飞镖的初速度以及空气的阻力都会对飞镖投射的准度、命中的环数产生影响。本文先在没有考虑空气阻力的条件下,对飞镖做斜上抛运动的轨迹进行分析,从而得到飞行的初速度和角度的关系,然后在考虑空气阻力的条件下,分水平和竖直两个方向,并运用一阶微分方程的变量分离法求出速度随时间变化的关系,从而得到位移和时间的关系,最后用牛顿切线法给出求近似解的方法,并给出近似解,最终得到投射角度和速度的关系,并给出对近似解误差估计的方法,但不对近似解作出估计。

关键字:空气阻力,斜上抛运动,变量分离法,牛顿切线法,近似解误差估计。

3 模型的假设

(1)将飞镖抽象为质点。

(2)靶脱手距地面高h1,飞镖靶心距地面高度h2。

(3)飞镖是在垂直与地面的某一平面飞行,而且靶心也在该平面。 (4)从飞镖脱手时开始计时。

(5)为计算方便,假设本文中符号不带有单位,仅表示单纯的数量。 (6)飞镖在飞行过程中先上升,后下降,且下降的时间很短。

4 模型的建立

(1) 在没有空气阻力的条件下

分析:在没有空气阻力的条件下,靶脱手之后只受重力,有斜向上的初速度,因此物体做斜上抛运动。水平方向做匀速直线运动,竖直方向做加速度为g的匀减速直线运动。

设飞镖离开投射者时距靶的距离为d,飞镖的投射角度为0,初

2速度为v0,飞行时间为t。

水平方向:dv0cost (4-1)

0v0singt1 (4-2)竖直方向:

其中t1为飞镖从脱手到减速到零即到达最高点的时间,g为重力加速度,为已知常量。

若设从脱手到飞到最高点飞行高度为h,则

1

hgt12 (4-3)

2

从高点到飞行停止时飞行的高度为

12

(4-4) hh1h2gt2

2

其中t2为飞镖从最高点到到达靶面的时间。

而对于d、h1、h2均为可测的,可看作已知量,因此由(4-1)、(4-2)、(4-3)、(4-4)式可以得到v0、的关系为:

2

v0sin2vsin21d h1h2g(0)

2g2v0cosg

(2) 空气阻力存在的条件下

分析:水平方向由于空气阻力的存在,做减速运动,而由于空气阻力与速度成正比,所以空气阻力为变力。由空气阻力的计算公式fkv(k为空气摩擦系数,与空气密度有关),可知该方向做的是加速度逐渐减小的减速运动;竖直方向先做竖直向上的加速度逐渐减小的减速运动,知道到达最高点后,向下运动,由于初始时刻速度为零,所以由公式fkv可知在一段时间内空气阻力将小于物体重力,直到空气阻力和重力相等后,由于竖直方向受力的平衡将一直做竖直向下的匀速直线运动。但是我们假设下落时间很短,所以当飞镖落到靶面上的时候还未到达fmg的时刻。 水平方向我们有:

dv1kv

1 dtm

其中,v1为水平方向时的速度,利用一阶微分方程的变量分离法可以得到:

kt

c1(c1为一固定常数) m

特别的,当t0时,

lnv1

(0cos) c1lnv

进一步的,将c1带入上式中得: v1v0cose

kt

m

上式对t进行积分得:

ktm

sv0cose

t

dt

令上式的右端等于d,我们得到飞镖总的飞行时间 t

mkdln1() kmv0cos

竖直方向按照假设飞镖先做竖直向上的,加速度逐渐减小的减速运动,最终

减速到零。因此有:

dv2mgkv2

dt1m

其中v2为飞镖上升时的速度,利用一阶微分方程的变量分离法可以得到: lnkv(2mg)

kt1

c2(c2为一固定常数) m

特别的,当t10时, c2ln(kv0sinmg) 进一步的,将c2带入上式中得:

11

v2[(kv0sinmg)emmg]

k

kt

令v20,得到飞镖上升的总时间t总1 上式两边对t1进行积分得: hh1

t1

mmg

ln

kkv0sinmg

11

kv0sinmg)emmg]dt1 k

kt

mv0sinm2gmg

2lnh1 将t总1的值带入上式中,可以求得h

kkv0sinmgk 由分析知道:当越过最高点后,重力和空气阻力反向,且重力初始时大于

空气阻力,因此飞镖开始作加速度逐渐减小的加速运动。因此有:

dv3mgkv3

dt2m

其中v3为飞镖下降时的速度,利用一阶微分方程的变量分离法可以得到:

(kv3) lnmg

kt2

c3(c3为一固定常数) m

t2从过最高点后开始计时。 特别的,当t20时,v30, c3lnmg()

进一步的,将c3带入上式中得:

2mg v3(1em)

k

kt

上式两边对t2进行积分得: hh2 令 x

kt2

m

t2

2mg

(1em)dt2 k

kt

mv0sink2m2gemg

hhln c2212 kvsinmgkmgk0

则可得以下方程:

xexc0 (4-5) 对该方程的解采用牛顿切线法给出求近似解的方法。 令fxxexc,则有f'x1ex,f"xex

首先对t2进行定性估计,由题意知,有空气阻力条件下的下落时间t2应小于总的飞行时间,即:

mkd

() t2ln1kmv0cos

并且由二的分析知,下落过程中kv3mg,因此下落过程中的加速度始终小于2g, 由h

12

at和下落高度hh2既定,下落总时间t22

hh2

,则分别令g

aln1(

kdkhh2

),b,

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