【话题作文】
第一篇:《数列上下极限的不同定义方式及相关性质》
目 录
数列上下极限的不同定义方式及相关性质
摘要……………………………………………………….……01 一、数列的上极限、下极限的定义………………………………….01
1. 用“数列的聚点”来定义……………………………………01 2. 用“数列的确界”来定义……………………………………02 3. 数列上、下极限定义的等价性………………………………..02 二、数列的上、下极限的性质及定理………………………………. 04 参考文献………………………………………………………. 14 英文摘要………………………………………………………..15
数列上下极限的不同定义方式及相关性质
摘 要：数列的上、下极限的概念是极限概念的延伸，由于它们在正项级数敛散性的判别法中的重要作用，又成为数学分析中重要的理论部分.本文主要讨论了数列的上下极限的两种定义方式及其等价证明和一些相关定理. 关键词：数列、上极限、下极限、聚点、函数
一、数列的上极限、下极限的定义
关于数列的上极限、下极限的定义常见的有如下两种形式： 1. 用“数列的聚点”来定义
定义 1 若在数a的任一邻域内都含有数列xn的无限多项，则称a为数列
xn的一个聚点.
例1 数列{(1)n 数列{sin
n
有聚点1与1； n1
n
和1五个聚点； 有1,224
1
数列只有一个聚点0；
n
常数列{1,1,,1,}只有一个聚点1.
定义 2 有界数列xn的最大聚点a大与最小聚点a小分别称为数列xn的上极限和下极限，记作
a大lim;a小limxn.
n
n
nn111
nnn1n1
nn
limsin11
nn44
11
lim0
nnnn
例2 lim(1)n
2. 用“数列的确界”来定义 定义3 任给数列xn，定义
limxnlimsup{xk};xnliminf{xk} （1）
n
nkn
n
nkn{极限定义形式}.
分别称为数列xn的上极限和下极限.
若定义1中的a可允许是非正常点或，则：任一点列xn至少有一个聚点，且存在最大聚点与最小聚点.不难证明：正上（下）界点列的最大（小）聚点为().于是，无上（下）界点列有非正常上（下）极限().
例3 lim((1)n1)n,lim(1)nn1)nn
n
n
n
3. 数列上、下极限定义的等价性
下面我们来证明一下数列上、下极限定义的等价性，即
a大limxnlimsup{xk}；
n
nkn
a小xnliminf{xk}.
n
nkn
p}，由于supx{k关}于n单调递减，所以证明：如果limsuxk{
nkn
kn
sup{xk}，nN.于是，可取n1（自然数）s.t.xn1,又可取n2,
kn
1
n2n1,s..txn2,,所以，得到数列xn的子列xn
2
k.这就证明
k
了为数列的聚点，且为最大聚点a大.由此可得
a大limxnlimsup{xk};
n{极限定义形式}.
nkn
如果limsup{xk}，则limsup{xk}或实数.
nkn
nkn
设a数列xn的任一聚点，则必有xn的子列，xniai.n,
当in时,niin,有
xnisup{xk}，
kn
alimxnisup{xk}，
i
kn
alimsup{xk},
nkn
所以，数列xn的最大聚点满足
n
limxnlimsup{xk}.
nkn
另一方面， ylimxn,易见，y,+中最多含有数列xn中的有限多项.
n
因此，N,当kN时，有xky，从而，当nN时，有
sup{xk}y,{极限定义形式}.
kn
由此可得
limsup{xk}y.
nkn
令ylimxn
n
，推出
limsup{xk}limxn.
nkn
n
综合上述，有
alimxnlimsup{xk}.
n
nkn
类似的可证明或应用上式于xn可证得
a小xnliminf{xk}.
n
nkn
如果对n
nkn
liminf{xk}，由于inf{xk}关于n单调递减，所以inf{xk}，
kn
kn
N.于是，可取自然数n1使得xn11,又可取自然数n2 n2n1使得
xn22""所以，得到数列xn的子列{xnk}.这就证明了为数列的
聚点，且为最小聚点a小.由此可得
a小xnliminf{xk};
n
nkn
如果liminf{xk}，则liminf{xk}或实数.
nkn
nkn
设a数列xn的任一聚点，则必有xn的子列，xniai.任意的n是自然数当in时,niin,有
xnkinf{xk}
kn
alimxniinf{xk}
i
kn
aliminf{xk}
nkn
所以，数列xn的最小聚点满足
limxnliminf{xk}.
n
nkn
另一方面，对任意的ylimxn易见，（-,y]中最多含有数列xn中的有限
n
多项.因此，存在N是自然数当kN时，有xky，从而，当nN时，有
inf{xk}y，
kn
由此可得
nkn
liminf{xk}y.
令y[limxn]，推出
n
nkn
liminf{xk}xn.
n
综合上述，有
a小xnliminf{xk}.
n
nkn
下面进一步给出和数列上，下极限定义有关的性质及定理.
二、数列的上、下极限的性质及定理
设有数列xn与数列yn，则数列的上、下极限有以下性质
性质 1 limxnlimxn； （2）
n
n
性质 2 limxnAlimxnlimxnA
n
n
n
例4 用上下极限理论证明：若xn是有界发散数列，则存在xn的两个子列收敛于两个不同的极限.
证明：因为数列发散的充要条件是limxnlimxn，于是存在xn的两个子
n
n
列x'nk,x''nk，使limx'nklim
n
n
xn，limx''nkxn，即存在xn的两个子列收
n
n
敛于不同的极限.
性质 3 （保不等式性质）设有界数列xn，yn满足：
存在N00,当nN0时有xnyn，则
第二篇:《函数极限概念》
引言
在数学分析中，极限的概念占有主要的低位并以各种形式出现而贯穿全部内容,同时极限概念与方法是近代微积分的基础. 因此掌握好极限的求解方法是学习数学分析和微积分的关键一环.本文主要对一元函数极限定义和它的求解方法进行了归纳总结,并在具体求解方法中就其中要注意的细节和技巧做了说明, 以便于我们了解函数的各种极限以及对各种极限进行计算.求函数极限的方法较多,但每种方法都有其局限性, 都不是万能的, 对某个具体求极限的问题,我们应该选择合适的方法.
一、函数极限概念
1
定义1 设f为定义在a,上的函数，A为定数.若对任给的>0，存在
正数M（a），使得当xM时有
f(x)A，
则称函数f当x趋于+时以A为极限，记作
x
limf(x)A 或f(x)Ax.
1
定义2 （函数极限的-定义）设函数f在点 x0 的某个空心邻域U0
（x0；'）内有定义，A为定数。若对任给的>0，存在正数（<'），使得当0<xx0时有
f(x)A，
则称函数f当x趋于x0时以A为极限，记作
limf(x)A或f(x)A(xx0).
x
1{极限定义形式}.
定理1 设函数f在U0(x0,')（或U0(x0;')）内有定义，A为实数。若
对任给的0，存在正数(')，使得当x0xx0（或x0xx0）时有
f(x)A，
则称数A为函数f当x趋于x0（或x0）时的右（左）极限，记作
limf(x)A(limf(x)A)
xx0
xx0
或
f(x)A(xx0)(f(x)A(xx0)).
定理2（唯一性）若极限limf(x)存在，则此极限是唯一的.
1
xx0
1
定理3（局部有界性）若limf(x)存在，则f在x0的某空心邻域U0(x0)内
xx0
有界.
1
定理4（局部保号性）若limf(x)A0（或<0），则对任何正数r<A（或{极限定义形式}.
xx0
r<-A）,存在U0(x0)，使得对一切xU0(x0)有
f(x)r0（或f(x)r0）.
1
设limf(x)与limg(x)都存在， 定理5（保不等式性）且在某邻域U0(x0;')
xx0
xx0
内有f(x)g(x)，则
limf(x)limg(x).
xx0
xx0
二、函数极限的求解与应用
极限一直是数学分析中的一个重点内容，而对函数极限的求法可谓是多种多样，通过归纳和总结，我们罗列出一些常用的求法.求解函数极限的最基本的方法还是利用函数极限的定义，同时也要注意运用两个重要极限，其中可以利用等量代换，展开、约分等方法化成比较好求的数列，也可以利用函数极限的四则运算法则计算.夹逼性定理和拉格朗日中值定理是很重要的定理，在求的时候要重点注意运用. 洛必达法则是针对某些特殊的函数而言的，还有一些比较常用的方法，在本文中都一一列举了.
1、利用函数极限的定义
根据函数极限的定义，是求极限的最基本的方法之一.
例1 证明 lim
1
0. xx
1111
，则当x>M时有，0=<=.
xxM
证明 >0，M=
所以有lim
1
0. xx
2
例2 用极限的定义证明limx2x0 (|x0|1).
xx 证明 由于|x|1, |x0|1, 因此
22
x0
,则当0|xx0|时, 于是, 对任给的0(不妨设01), 取
2
2
有 x2x0.
注 用极限的定义时, 只需要证明存在N(或), 故求解的关键在于不等式的建立. 在求解的过程中往往采用放大、缩小等技巧, 但不能把含有n的因子移到不等式的另一边再放大, 而是应该直接对要证其极限的式子一步一步放大, 有时还需加入一些限制条件, 限制条件必须和所求的N(或)一致, 最后结合在一起考虑.
2
2．利用极限的运算法则
1
定理6（四则运算法则） 若极限limf(x)与limg(x)都存在，则函数fg，