【 – 高中作文】
篇一:《根式函数的性质及其应用》
根式函数y
摘要：
关键词：
ax2b
的性质及其应用
1、 引言
高考题中经常会出现含根式函数yax2b的相关试题，根据试题的条件和结论的内在联系，抓住关键的结构特征，借助其图象和性质，即可快速准确地解决试题.
下面，我们对形如yax2b(a,b0)的根式函数的性质进行归纳，以期抛砖引玉.
2、
性质1（定义域） R 性质2（ 值域 ） [b,)
性质归纳
性质3（单调性） 在,0上单调递减，在0,上单调递增 性质4（奇偶性） 偶函数 性质5（对称性） 关于y轴对称
将根式函数yax2b(a,b0)变形为y2ax2b(a,b0,yb)，得 性质6（特殊性）
① 该函数的图象是焦点在y轴上的双曲线的上支 ② 有两条渐近线，方程为yax ③ 该函数是R上的凹函数
有了性质作辅助，遇题便有章可依.
3、 典例分析
例1 已知a,bR，且ab1，求证：4a214b2122
x2
1的上支(如右图) 证明：设函数f(x)4x1，它的图象是双曲线y14
2
2
f(x)是R上的凹函数，
f(a)f(b)ab
f() 22
2
4a214b21ab22
41 即得4a14b12证毕.
22
n
n
推广： 若xiRi(i1,2,,n)，且xi1，则有axi2babn2
i1
i1
例2 已知a,bR，求证：|4a214b21|2|ab| 证明：① 若ab，显然成立.
4a214b21
② 若ab，原不等式等价于||2
ab
4a214b21
设函数f(x)4x1，则可看作函数f(x)图象上任意两点
ab
2
Pa,4a21，Qb,4b21ab连线的斜率， 即转化为求导函数f'(x)的值域问题. f'(x)
4x4x21
， |f'(x)|
4|x|4×21
4|x|
2 2|x|
4a214b21
|2. 综上所述，|4a214b21|2|ab| |
ab点拨：本题的实质是考查双曲线上支上任意两点连线的斜率必介于两渐近线的斜率2与2之间.
例3 当0ab时，求证：4b214a21
4b214a21
证明：原不等式等价于
ba
2
4aba4a1
2
4a4a1
2
4b214a21
设函数f(x)4x1，则可看作函数f(x)图象上任意两点
baPa,fa，Qb,fb连线的斜率.由高等数学中的拉格朗日中值定理可知，在
a,b上存在一点，使得
f(b)f(a)
f'().
ba
f'(x)
4x4x21
且f''(x)
4
4x
2
1
32
0， f'(x)在a,b上单调递增. f(b)f(a)
f'(a)
ba
又 0ab， f'()f'(a)
4b214a21
即
ba
4a4a1
2
4b214a21
4aba4a1
2
证毕.
4、 高考竞赛在线
例4 (2000年全国高考试题) 设函数f(x)x21ax，其中a0，求a的取
值范围，使函数f(x)在区间[0,)上是单调函数. 解：不妨设C1：y1ax，C2：y2x21，
2
整理得C1：y1ax，C2：y2x21y0
则函数f(x)表示双曲线y2x21y0及直线yax对应
x的点的纵坐标之差，又双曲线C2的渐近线为yx，从图理解可知，当且仅当a1时，函数f(x)在区间[0,)上是单调递减函数.
例5 (2001年全国联赛试题) 求函数yxx23x2的值域. 解： 因为yxx23x2x23x2x， 不妨设C1：y1x,C2：y2x23x2
312
整理得C1：y1x,C2：(x)2y2y0
243(x)2
y2则本题可转化为求双曲线1y0及直线
1144yx对应x的点的距离差，其中(x2或x1).
3
又双曲线C2的渐近线为yx，其中一条与yx平行.
23
从图立即可得函数的值域为[1
,
)[2,)．
2{复函的根式}.
5、 拓宽延伸
通过对根式函数yax2b图象和性质的研究，有助于遇到同类型题目时消除陌生感，减弱畏惧心，
6、
总结提炼
参考文献
1 江建平.导数的另类应用[J].中学数学研究，2009年第6期
2 陆建.把握特征 诱发直觉[J].中学数学教学参考，2005年第6期
篇二:《复函复习提要》
第一章 复数与复变函数
【本章教学目的和要求】：
（1）熟练掌握复数的各种表示方法及其运算，了解复数运算的几何意义； （2）理解区域，单连通区域，复连通区域和复球面等概念； （3）掌握一些曲线的复数表达式；
（4）理解复变函数的概念，了解复变函数的极限和连续的概念。 【本章重点、难点】复数的运算，用复数方程表示曲线
1.1复数
1、 复数域：
1）概念：每个复数z具有xiy的形状，其中x和yR，i别称为z的实部和虚部，分别记作xRez，yImz。 2）复数相等：复数z
1
1
是虚数单位；x和y分
x1iy1和z2x2iy2相等是指它们的实部与虚部分别相等。
3）共轭复数：
4）复数的四则运算定义为： 2、 复平面：
C也可以看成平面R，我们称为复平面。
2
作映射：CR2:zxiy(x,y)，则在复数集与平面R之建立了一个1-1对
2
应。
横坐标轴称为实轴，纵坐标轴称为虚轴； 3、模与幅角：
1）向量的长度称为复数的模，定义为：|z|若z0z0
2）幅角：向量与正实轴之间的夹角称为复数的辐角，定义为：Argzarctan3）复数的三角形式与指数形式表示： 三角表示定义为：z|z|(cos指数表示：zrei 4）开方公式：z
n
n
xy
22
；
yx
2（ik
Z
）。
ArgzisinArgz)
ze
i
2k
n
（k0,1,2,n1）
4.三点共线问题：两点的参数方程
1.2复平面上的点集
1 .概念：
领域、内点，外点、边界点、开集与闭集 2 .区域
3、连续曲线、简单曲线、简单闭曲线以及连通区域
1.3复变函数
1、 2、 3、
单值函数与多值函数 极限与连续性：
复变函数等价于两个实变量的实值函数：若zxiy，
，则wf(z)等价于两个二元实变函数
wRef(z)iImf(z)u(x,y)iv(x,y)uu(x,y)和vv(x,y)。
1.4复球面与无穷远点
1、 引入一个新的非正常复数无穷远点，称C{}为扩充复平面，记为C。 2、 无穷远点的邻域：z
第二章 解析函数
【本章教学目的和要求】
(1) 了解复变函数的可导与微分的概念； （2）理解解析的概念；
（3）熟悉复变函数解析的充分条件； (4 ) 了解初等解析函数主要性质。 【重点、难点】
函数解析性的判断，解析函数的充要条件
第一节、 解析函数概念与Cauchy-Riemann条件
1
与去心邻域：
1
z
1、 复变函数的导数与微分 2、 解析函数及简单性质：
1）定义：如果f(z)在z0及z0的某个邻域内处处可导，则称f(z)在z0处解析
注1、解析性与可导性：在一个点的可导性是一个局部概念，而解析性是一个整体概念；
注2、函数在一个点解析，是指在这个点的某个邻域内解析，因此在此点可导；反之，在一个点的可导性不能得到在这个点解析。 2）解析函数的四则运算： 3、Cauchy-Riemann条件： 定理2.1（点可微必要条件）、定理2.2（点可微充要条件）、定理2.3（点可微充分条件）
定理2.4（区域解析的充要条件）定理2.5（区域解析的充分条件） 注解2、解析函数的导数形式更简洁：
注解3、利用此定理，可以判断一个复变函数是否在一点可微或在一个区域内解析：
如f(z)z2(x2y2)2ixy以及f(z)excosyiexsiny在整个复平面内解析，而
f(z)xiy在任何点都不可微。
第二节：初等函数
1、 指数函数：
定义复指数函数，为wezexpzex(cosyisiny)
从定义得ezez；Arge
z
y2k,k0,1,2,
指数函数是周期2i为其基本周期函数；
指数函数wez在整个复平面内有定义并且解析， ez
ez 2、 三角函数与双曲函数：
当x0时，上述复指数函数
eiy
(cosyisiny)， e
iy
(cosyisiny)，
iy
从而得到：sinye
eiy
2i
,cosy
e
iy
eiy
2
。
我们规定
sinz
e
iz
eiz
2i
,cosz
e
iz
eiz
2{复函的根式}.
并分别称为z的正弦函数和余弦函数。
sinz是奇函数，cozs是偶函数；在z平面上是解析的，(sizn)cozs,(coz)ssizn.；sinz
及cosz是2为周期的周期函数。
sinz的零点为zn,(n0,1,)， cosz的零点为zn
12
.
事实上，sinz0可以写成e2iz1.如令zaib,即写成e2e2i1e2ni 故e21,22n(n0,1,)，即：
0,n.
所以zn,(n0,1,)是sinz的零点。 在复数域内不能再断言sinz1,cosz1.
第三节 初等多值函数
且
1 根式函数
（1）定义：我们规定根式函数w
w
n
n
z为幂函数zw的反函数。
z
ze
i
argz2k
n
(k0,1,)
2k2k
Tk:
nnnn
(k0,1,,n1)
都变成z平面上除去原点及负实轴的区域。
这是函数（1）的单叶性区域的分法。 （2）分出w（3）w
n
n
z的单值解析分支
z的支点和支割线
一般是具有这样性质的点，使得当变点z绕这点旋转一周时，多值函数从一支变为另一支，也就是说哦，当变点回到原位置的时候，函数值与原来的函数值相异，这样的性质的点，就称为支点。
w
n
z是以z0,z为支点的。
用来割破z平面，借以分出w线
2 对数函数
z的单值解
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