【 – 字数作文】
奇思妙想200(一)
上海市教科研规划项目─南汇区第一中学
《在初中拓展型课程中培养智优学生运用数学方法的实践研究》
关注智优学生知识储备辅导学习材料（7）
数学方法与奇思妙想
数学方法是联系知识与能力的纽带，也是数学科学的灵魂，数学方法对培养学生的数学素质，提高学生的综合能力都起到十分重要的作用。可以这样说，只有掌握了数学方法，数学才能发挥更大的作用。所以在数学学习中必须注意数学方法的自我探究和培养。以下就数学方法与奇思妙想的应用举例说明。
一、 设而不求，牵线搭桥
例1.1、一艘船逆水而上，船上有人将一件重要物品掉入水中，随水漂流，发现时已经过了8分钟，立即掉头（掉头时间不计）。那么，再过多少分钟，船才能追上所掉物品？ 解：设V船x，V水a（这里的x，a均为设而不求），再过t分钟，船追上所掉物品， 则 t(xa)8(xa)8ata
解得t8。
例1.2、旅客在车站候车室排队等候检票，并且排队的旅客按一定的速度在增加。设检票速度一定，当车站开放一个检票口，需要半个小时方可让待检旅客全部检票进站；若同时开放两个检票口，则只需十分钟便可让旅客全部检票进站。现有一班增开列车过境载客，必须在五分钟内让旅客全部检票进站，问此时至少要同时开放几个检票口？ 解：未知元素很多，不妨多设字母牵线搭桥。
设检票开始时等候检票的旅客为x人，排队人数每分钟增加y人，每个检票口每分钟检票z人，再设车站同时开放n个检票口时，可以在5分钟内将旅客全部检票进站，则
1）x30y30z （ x10y20z （2）
x5yn5z （3）
x15z 由（1）、（2）可得z， y2
代入（3），得n3.5，
由于n为正整数，故n4.
这里的x,y,z均为设而不求，只为求n铺的桥。
二、 添线造角，化隐为显
添线造角的目的是：（1）将分散的几何条件转化为相对集中的条件，使已知与证明之间
分散的元素相对集中在一个图形或几个图形中；（2）将不规则的图形转化为规则的图形，或把复合的图形转化为单一的图形，或把复杂的图形转化为简单的基本图形。添线造角的方法没有现成的、固定的方法可循，可在自己的解题实践中不断总结与积累，真正做到熟能生巧。
例2.1、已知AB//CD,B60,BED98，求D的度数。
解：无法直接求解，不妨添线造角，运用添加的线与角搭桥。
方法一：过E作EF//AB；
方法二：连结BD；
方法三：延长DE交AB于M；
方法四：延长BE交CD于N。
归纳：涉及平行线问题无从下手时，可以及时添线，其作用是“造角”，使问题与已知搭起桥，从而建立起数学模型，化隐为显，问题就迎刃而解了。
例2.2、在ABC中，BC3，CA5,BA7。求：ACB的度数。
解：无法直接求解，不妨添线造角，创造条件。
作ADBC，垂足为D，造出直角。设CDx，
在RtACD中，有AD252x25x 2222在RtADB中，有AD7(x3)
故CD1AC 2
所以DAC30,故ACB9030120。
（此题也可用余弦定理来直接求解）
三、 对应方法，类比归纳
对应方法在数学中随处可见。例如：实数与数轴的点集对应；函数概念即为两个变量或
集合元素的单一对应；函数图像上的点与满足函数解析式的有序数对的对应；几何图形与
相关性质的对应等。运用对应方法来处理，解决数学问题可以通过它的对应性质转化为研
究另一个对应问题，以达到研究解决原事物的目的。
例3.1、已知直线L：ymxm过一定点A，求A点的坐标。
解：显然这样的直线有无数条，但都通过一定点A，找出对应的方程axb，即a0,b0
，y0时m可取无数值。因此可见过时x有无数解来化归，即：(x1)my,当x1
点A（1，0）的直线有无数条，即对应的axb有无数解。
例3.2、李明于晨7时从甲地出发，中午12时到达乙地。第二天他于晨7时从乙返回，恰好在中午12时回到甲地。如果李明在途中行走的速度可以随意变化，那么途中是否存在这样的点，使得李明往返途中在手表面的同一时刻通过此点？说明理由。
分析：鉴于满足题设条件的点是隐晦的，直接说明它的存在或不存在都是不易的。如若构想
第二天与李明从乙地返回甲地的同时，对应的有另一个从甲前往乙，那么这样的点存在是十分明显的了。
显然运用对应方法解决问题的思维过程是：
例3.3、某人租用一辆汽车由A城开往B城，沿途可能经过的城市以及通过两城市之间所需的时间（单位：小时）如图所示。若汽车行驶的平均速度为80千米/小时，而汽车每行驶1千米需要的平均费用为1.2元。试指出此人从A城出发到B城的最短路线（要有推理过程），并求出所需要费用最少为多少元？
解：从A到B的路线，对应的有6种，选择最短的路线需分类比较，选择最优。
A→C→D→E→B： 需要14+6+17+12=49小时；
A→C→O→E→B：需要14+13+10+12=49小时；
A→F→O→E→B：需要15+11+10+12=48小时；
A→F→O→H→B：需要15+11+5+18=49小时；
A→F→G→H→B：需要15+7+9+18=49小时，
因此从A到B最短路线为A→F→O→E→B需48小时，
所需费用最少是48×80×1.2=4608元。
四、 简单变化，化繁为简
较复杂的数学问题，经常可通过寻找规律、猜想探索、简单变化的方法，化繁为简，从
而使复杂的问题得到迅速解答。解题的思维过程是：
例4.1、计算12222
2n个n个
解：从最简单的变化做起：2
93 2233
n个n个 寻找规律：122223333 2n个
解答过程如下：122221000201111
2n个n个n个n个n个
1101111
n个n个n
1(101)19999
n个n个n个n
1333333333
n个n个n个
例4.2、计算：(11111)(1)(1)(1) 2222234100
解：直接计算很繁，但分析规律，简单变化，就得到化繁为简的目的。
11111111原式（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）（1）223344100100
1324399101 22334100100
1101101 2100200
五、 分析综合，思维畅通
分析与综合法是数学方法中最基本的方法，也是联系知识与能力的纽带，更是数学科学
的灵魂。基于如下的考虑：只有经过严格的数学分析法、综合法的数学训练，才能使学生在未来的数学学习中，把特殊的方法与灵活的运用互相结合，才能更好地把握学习的主动性和适应性，从而为他们走上社会奠定扎实的思维基础。
一般认为分析着重把问题分解为各个部分，其思维是由未知（结论）推溯到已知（条件），即执果溯因。综合是指将问题中的各个部分重新有条理的组合起来，思路是由已知（条件）推证到未知（结论）。分析与综合是彼此互逆的思维方法。
例5.1、在ABC中,AB8,AC4,BC443,求A,B的度数。
分析：直接求解较困难（运用余弦定理可直接求解），不妨构建直角三角形数模，尝试解答问题。为此可作AD⊥BC，欲求∠A，∠B的度数，只需求AD，BD，CD的长度，这与已知条件牵线搭桥，可利用勾股定理求解。
解：（综合）过A作ADBC，垂足为D，设BDx，则CD443x
在RtADB中，AD2AB2BD282x2x4 22222在RtADC中，ADACCD(46)(443x)CD43AD4ADCDCCAD45，
1AB,且AD⊥BC，因此B60,BAD30 2
故BAC75。 而BD4
例5.2、已知2b2c1，求证：b24ac。 a
分析：欲证b24ac（似曾相识），只需证b24ac0（联想思考），而这对应于方程：ax2bxc0(a0)有实数根。
证明：（综合）整理原式：2c2ba0
即c(2)2b2a0
显然2为方程cx2bxa0的实根，
因此此方程的(b)4acb4ac0，
即b24ac。
可见分析是解题的先导和探索，而综合则是解题过程的感受。
例5.3、已知正方形ABCD的面积为2720，O为它的中心，P为正方形内一点，且OPB45
PA:PB7:11，求PB的长度。
分析：若求出PB的长度，则只要解△PAB即可，此三角形中AB边易得，其他边及角度可以通过辅助线来求出。
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奇思妙想200(二)
奇思妙想之后的解题教学
广州市第八十七中学 袁忠民
【摘要】：解题教学中的奇思妙解常常为数学课堂添彩，但处理不好就华而不实，流于走马观
花的形式，或者沦为教师和少数尖子学生的独角戏.如何对大多数学生都有效？本文对此提出三点处理建议：①讲特殊解法同时对比通用解法；②揭示特殊解法中蕴含的数学思想；③归纳常用解题方法和技巧.