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奇思妙想200 奇思妙想作文200字

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【 – 字数作文】

奇思妙想200(一)

上海市教科研规划项目─南汇区第一中学

《在初中拓展型课程中培养智优学生运用数学方法的实践研究》

关注智优学生知识储备辅导学习材料(7)

数学方法与奇思妙想

数学方法是联系知识与能力的纽带,也是数学科学的灵魂,数学方法对培养学生的数学素质,提高学生的综合能力都起到十分重要的作用。可以这样说,只有掌握了数学方法,数学才能发挥更大的作用。所以在数学学习中必须注意数学方法的自我探究和培养。以下就数学方法与奇思妙想的应用举例说明。

一、 设而不求,牵线搭桥

例1.1、一艘船逆水而上,船上有人将一件重要物品掉入水中,随水漂流,发现时已经过了8分钟,立即掉头(掉头时间不计)。那么,再过多少分钟,船才能追上所掉物品? 解:设V船x,V水a(这里的x,a均为设而不求),再过t分钟,船追上所掉物品, 则 t(xa)8(xa)8ata

解得t8。

例1.2、旅客在车站候车室排队等候检票,并且排队的旅客按一定的速度在增加。设检票速度一定,当车站开放一个检票口,需要半个小时方可让待检旅客全部检票进站;若同时开放两个检票口,则只需十分钟便可让旅客全部检票进站。现有一班增开列车过境载客,必须在五分钟内让旅客全部检票进站,问此时至少要同时开放几个检票口? 解:未知元素很多,不妨多设字母牵线搭桥。

设检票开始时等候检票的旅客为x人,排队人数每分钟增加y人,每个检票口每分钟检票z人,再设车站同时开放n个检票口时,可以在5分钟内将旅客全部检票进站,则

1)x30y30z    (  x10y20z    (2)

x5yn5z    (3)

x15z 由(1)、(2)可得z, y2

代入(3),得n3.5,

由于n为正整数,故n4.

这里的x,y,z均为设而不求,只为求n铺的桥。

二、 添线造角,化隐为显

添线造角的目的是:(1)将分散的几何条件转化为相对集中的条件,使已知与证明之间

分散的元素相对集中在一个图形或几个图形中;(2)将不规则的图形转化为规则的图形,或把复合的图形转化为单一的图形,或把复杂的图形转化为简单的基本图形。添线造角的方法没有现成的、固定的方法可循,可在自己的解题实践中不断总结与积累,真正做到熟能生巧。

例2.1、已知AB//CD,B60,BED98,求D的度数。

解:无法直接求解,不妨添线造角,运用添加的线与角搭桥。

方法一:过E作EF//AB;

方法二:连结BD;

方法三:延长DE交AB于M;

方法四:延长BE交CD于N。

归纳:涉及平行线问题无从下手时,可以及时添线,其作用是“造角”,使问题与已知搭起桥,从而建立起数学模型,化隐为显,问题就迎刃而解了。

例2.2、在ABC中,BC3,CA5,BA7。求:ACB的度数。

解:无法直接求解,不妨添线造角,创造条件。

作ADBC,垂足为D,造出直角。设CDx,

在RtACD中,有AD252x25x 2222在RtADB中,有AD7(x3)

故CD1AC 2

所以DAC30,故ACB9030120。

(此题也可用余弦定理来直接求解)

三、 对应方法,类比归纳

对应方法在数学中随处可见。例如:实数与数轴的点集对应;函数概念即为两个变量或

集合元素的单一对应;函数图像上的点与满足函数解析式的有序数对的对应;几何图形与

相关性质的对应等。运用对应方法来处理,解决数学问题可以通过它的对应性质转化为研

究另一个对应问题,以达到研究解决原事物的目的。

例3.1、已知直线L:ymxm过一定点A,求A点的坐标。

解:显然这样的直线有无数条,但都通过一定点A,找出对应的方程axb,即a0,b0

,y0时m可取无数值。因此可见过时x有无数解来化归,即:(x1)my,当x1

点A(1,0)的直线有无数条,即对应的axb有无数解。

例3.2、李明于晨7时从甲地出发,中午12时到达乙地。第二天他于晨7时从乙返回,恰好在中午12时回到甲地。如果李明在途中行走的速度可以随意变化,那么途中是否存在这样的点,使得李明往返途中在手表面的同一时刻通过此点?说明理由。

分析:鉴于满足题设条件的点是隐晦的,直接说明它的存在或不存在都是不易的。如若构想

第二天与李明从乙地返回甲地的同时,对应的有另一个从甲前往乙,那么这样的点存在是十分明显的了。

显然运用对应方法解决问题的思维过程是:

例3.3、某人租用一辆汽车由A城开往B城,沿途可能经过的城市以及通过两城市之间所需的时间(单位:小时)如图所示。若汽车行驶的平均速度为80千米/小时,而汽车每行驶1千米需要的平均费用为1.2元。试指出此人从A城出发到B城的最短路线(要有推理过程),并求出所需要费用最少为多少元?

解:从A到B的路线,对应的有6种,选择最短的路线需分类比较,选择最优。

A→C→D→E→B: 需要14+6+17+12=49小时;

A→C→O→E→B:需要14+13+10+12=49小时;

A→F→O→E→B:需要15+11+10+12=48小时;

A→F→O→H→B:需要15+11+5+18=49小时;

A→F→G→H→B:需要15+7+9+18=49小时,

因此从A到B最短路线为A→F→O→E→B需48小时,

所需费用最少是48×80×1.2=4608元。

四、 简单变化,化繁为简

较复杂的数学问题,经常可通过寻找规律、猜想探索、简单变化的方法,化繁为简,从

而使复杂的问题得到迅速解答。解题的思维过程是:

例4.1、计算12222

2n个n个

解:从最简单的变化做起:2

93 2233

n个n个 寻找规律:122223333 2n个

解答过程如下:122221000201111

2n个n个n个n个n个

1101111

n个n个n

1(101)19999

n个n个n个n

1333333333

n个n个n个

例4.2、计算:(11111)(1)(1)(1) 2222234100

解:直接计算很繁,但分析规律,简单变化,就得到化繁为简的目的。

11111111原式(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)223344100100

1324399101    22334100100

1101101   2100200

五、 分析综合,思维畅通

分析与综合法是数学方法中最基本的方法,也是联系知识与能力的纽带,更是数学科学

的灵魂。基于如下的考虑:只有经过严格的数学分析法、综合法的数学训练,才能使学生在未来的数学学习中,把特殊的方法与灵活的运用互相结合,才能更好地把握学习的主动性和适应性,从而为他们走上社会奠定扎实的思维基础。

一般认为分析着重把问题分解为各个部分,其思维是由未知(结论)推溯到已知(条件),即执果溯因。综合是指将问题中的各个部分重新有条理的组合起来,思路是由已知(条件)推证到未知(结论)。分析与综合是彼此互逆的思维方法。

例5.1、在ABC中,AB8,AC4,BC443,求A,B的度数。

分析:直接求解较困难(运用余弦定理可直接求解),不妨构建直角三角形数模,尝试解答问题。为此可作AD⊥BC,欲求∠A,∠B的度数,只需求AD,BD,CD的长度,这与已知条件牵线搭桥,可利用勾股定理求解。

解:(综合)过A作ADBC,垂足为D,设BDx,则CD443x

在RtADB中,AD2AB2BD282x2x4 22222在RtADC中,ADACCD(46)(443x)CD43AD4ADCDCCAD45,

1AB,且AD⊥BC,因此B60,BAD30 2

故BAC75。 而BD4

例5.2、已知2b2c1,求证:b24ac。 a

分析:欲证b24ac(似曾相识),只需证b24ac0(联想思考),而这对应于方程:ax2bxc0(a0)有实数根。

证明:(综合)整理原式:2c2ba0

即c(2)2b2a0

显然2为方程cx2bxa0的实根,

因此此方程的(b)4acb4ac0,

即b24ac。

可见分析是解题的先导和探索,而综合则是解题过程的感受。

例5.3、已知正方形ABCD的面积为2720,O为它的中心,P为正方形内一点,且OPB45

PA:PB7:11,求PB的长度。

分析:若求出PB的长度,则只要解△PAB即可,此三角形中AB边易得,其他边及角度可以通过辅助线来求出。

22

奇思妙想200(二)

奇思妙想之后的解题教学

广州市第八十七中学 袁忠民

【摘要】:解题教学中的奇思妙解常常为数学课堂添彩,但处理不好就华而不实,流于走马观

花的形式,或者沦为教师和少数尖子学生的独角戏.如何对大多数学生都有效?本文对此提出三点处理建议:①讲特殊解法同时对比通用解法;②揭示特殊解法中蕴含的数学思想;③归纳常用解题方法和技巧.

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