【 – 字数作文】
篇一:《勾股定理的著名证法》
勾股定理的著名证法 课外阅读资料2014-2-28 勾股定理是一个基本几何定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想
解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之
一。……勾股定理约有400种证明方法，是数学定理中证明方
法最多的定理之一。 《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明，相传是在商代
（公元前11世纪）由商高发现，故又有称之为商高定理，
在公元前7至6世纪一中国学者陈子，曾经给出过任意直
角三角形的三边关系即“以日下为勾，日高为股，勾、股各乘并
开方除之得邪至日”。
在陈子后一二百年，希腊
的著名数学家毕达哥拉斯发现
了这个定理，因此世界上许多国家都称勾股定理为“毕达哥
拉斯”定理。为了庆祝这一定理的发现，毕达哥拉斯学派杀
了一百头牛酬谢供奉神灵，因此这个定理又有人叫做“百牛
定理”． 三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了
详细注释，又给出了另外一个证明。
著名的网络科普作家塔米姆·安萨利（Tamim Ansary）
在其近著（10 Great Scientific Discoveries）中总结了对人类
社会发展有重大影响的、最伟大的十个科学发现。这之中，
第一个就为：毕达哥拉斯定理（Pythagorean theorem）
赵爽弦图 —————————–摘自百度百科（整理）
下面介绍三种著名的证法：
【一】《几何原本》中欧几里得的证明
做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结 BF、CD. 过C作CL⊥DE， 交AB于点M，交DE于点L.
∵ AF = AC，AB = AD， ∠FAB = ∠CAD，
∴ ΔFAB ≌ ΔCAD， 12∵ ΔFAB的面积等于a， 2ΔCAD的面积等于矩形ADLM
的面积的一半，
2∴ 矩形ADLM的面积 =a.
同理可证，矩形MLEB的面积=b.
∵ 正方形ADEB的面积 = 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB
∴cab ，即abc 2222222
【二】（赵爽证明）
以a、b 为直角边（b>a）， 以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于
把这四个直角三角形拼成如图所示形状.
∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE,
∴ ∠HDA = ∠EAB. ∵ ∠HAD + ∠HAD = 90
21ab. 2 毕达哥拉斯树 ∴ ∠EAB + ∠HAD = 90o， ∴ ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c. ∵ EF = FG =GH =HE = b―a , ∠HEF = 90o. ∴ EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于(ba1ab(ba)2c2. 2
222∴abc. ∴4【三】（1876年美国第20任总统James Garfield证明）
以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于1ab. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上. 2
∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE, ∴ ∠ADE = ∠BEC. ∵ ∠AED + ∠ADE = 90o, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90o. ∴ ∠DEC = 180o―90o= 90o. ∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形，它的面积等于
又∵ ∠DAE =∠EBC = 90o, ∴ AD∥BC.
∴ ABCD是一个直角梯形，它的面积等于12c. 2“总统”证法-图 1(ab)2. 2
11122222∴(ab)2abc. ∴abc. 222
故事链接：
总统为什么会想到去证明勾股定理呢？难道他是数学家或数学爱好
者？答案是否定的。事情的经过是这样的：
在1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年
人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲
尔德。他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精
会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心驱使伽菲
尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小伽菲尔德
男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到：“是5呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方。”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心里很不是滋味。
于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。
1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法。
1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法。
篇二:《勾股定理多种证法》
勾股定理的证明
【证法1】（课本的证明）
做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.
从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等. 即
ab4
2
2
12
abc4
2
12
ab
222
， 整理得 abc.
【证法2】（邹元治证明）
以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角
1
形的面积等于2. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上.
∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF,
∴ ∠AHE = ∠BEF.
∵ ∠AEH + ∠AHE = 90o, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90o. ∴ ∠HEF = 180o―90o= 90o.
∴ 四边形EFGH是一个边长为c的
正方形. 它的面积等于c2. ∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA. ∵ ∠HGD + ∠GHD = 90o, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90o. 又∵ ∠GHE = 90o,
∴ ∠DHA = 90o+ 90o= 180o.
2
ab∴ ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于.
ab
222∴ . ∴
ab 【证法3】（赵爽证明）
以a、b 为直角边（b>a）， 以c为斜
ab2
4
1
abc
2
1
边作四个全等的直角三角形，则每个直角
1
三角形的面积等于2. 把这四个直角三 角形拼成如图所示形状.
∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB.
∵ ∠HAD + ∠HAD = 90o， ∴ ∠EAB + ∠HAD = 90o，
∴ ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2. ∵ EF = FG =GH =HE = b―a , ∠HEF = 90o.
2
ba∴ EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于.
ab
∴
4
2
12
abbac
2
2
.
∴ abc.
【证法4】（1876年美国总统Garfield证明）
以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角
1
22
形的面积等于2
ab
. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点
在一条直线上.
∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE, ∴ ∠ADE = ∠BEC.
∵ ∠AED + ∠ADE = 90o, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90o. ∴ ∠DEC = 180o―90o= 90o.
∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形，
1
E
它的面积等于2.
又∵ ∠DAE = 90o, ∠EBC = 90o, ∴ AD∥BC.
1
c
2
∴ ABCD是一个直角梯形，它的面积等于2
1
ab2
.
∴ 2
ab2
2
2
2
2
12
ab
12
c
2
.
∴ abc.
【证法5】（梅文鼎证明）
做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为
2
c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P.
∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD, ∴ ∠EGF = ∠BED，
∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BED + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BEG =180o―90o= 90o. 又∵ AB = BE = EG = GA = c，
∴ ABEG是一个边长为c的正方形. ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90o. ∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,
∴ ∠ABC = ∠EBD.
∴ ∠EBD + ∠CBE = 90o.
即 ∠CBD= 90o.
又∵ ∠BDE = 90o，∠BCP = 90o， BC = BD = a.
∴ BDPC是一个边长为a的正方形. 同理，HPFG是一个边长为b的正方形.
BA设多边形GHCBE的面积为S，则
ab
2
2
2
S2
2
2
12
ab,
c
2
S2
12
ab
,
∴ abc.
【证法6】（项明达证明）
做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ，斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上. 过点Q作QP∥BC，交AC于点P.
过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点 F作FN⊥PQ，垂足为N. ∵ ∠BCA = 90o，QP∥BC， ∴ ∠MPC = 90o， ∵ BM⊥PQ， ∴ ∠BMP = 90o， ∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90o.
∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90o，
∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90o， ∴ ∠QBM = ∠ABC，
又∵ ∠BMP = 90o，∠BCA = 90o，BQ = BA = c， ∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.
同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.
从而将问题转化为【证法4】
【证法7】（欧几里得证明） 做三个边长分别为a、b、c3
B三点在一条直线上，连结 BF、CD. 过C作CL⊥DE， 交AB于点M，交DE于点 L.
∵ AF = AC，AB = AD， ∠FAB = ∠GAD， ∴ ΔFAB ≌ ΔGAD，
1
∵ ΔFAB的面积等于2， ΔGAD的面积等于矩形ADLM 的面积的一半，
∴ 矩形ADLM的面积 =a.
同理可证，矩形MLEB的面积 =b.
∵ 正方形ADEB的面积
= 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积
∴ cab ，即 abc.
【证法8】（利用相似三角形性质证明）
如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D.
在ΔADC和ΔACB中， ∵ ∠ADC = ∠ACB = 90o， ∠CAD = ∠BAC， ∴ ΔADC ∽ ΔACB.
AD∶AC = AC ∶AB，
2
即 ACADAB.
2
2
2{关于勾股定理的证法}.
2
2
2
2
a
2
2
2
B
2
同理可证，ΔCDB ∽ ΔACB，从而有 BCBDAB.
∴ AC
2
BC
2
ADDBABAB
222
，即 abc.
【证法9】（杨作玫证明）
做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过A作AF⊥AC，AF交GT于F，AF交DT于R. 过B作BP⊥AF，垂足为P. 过D作DE与CB的延长线垂直，垂足为E，DE交AF于H.
∵ ∠BAD = 90o，∠PAC = 90o， ∴ ∠DAH = ∠BAC.
又∵ ∠DHA = 90o，∠BCA = 90o，
AD = AB = c， ∴ RtΔDHA ≌ RtΔBCA. F
∴ DH = BC = a，AH = AC = b.
由作法可知， PBCA 是一个矩形， T
所以 RtΔAPB ≌ RtΔBCA. 即PB = CA = b，AP= a，从而PH = b―a.
4
E
B
∵ RtΔDGT ≌ RtΔBCA ,
RtΔDHA ≌ RtΔBCA. ∴ RtΔDGT ≌ RtΔDHA .
∴ DH = DG = a，∠GDT = ∠HDA . 又∵ ∠DGT = 90o，∠DHF = 90o，
∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90o， ∴ DGFH是一个边长为a的正方形.
∴ GF = FH = a . TF⊥AF，TF = GT―GF = b―a .
∴ TFPB是一个直角梯形，上底TF=b―a，下底BP= b，高FP=a +（b―a）. 用数字表示面积的编号（如图），则以c为边长的正方形的面积为
c
2
S1S2S3S4S5
①
=
b
2
∵
S8S3S4
12
bbaaba
12
ab
，
S5S8S9，
∴
把②代入①，得
c
2
2
S3S4b
2
12
abS8
=
bS1S8
2
. ②
S1S2bS1S8S8S9
=
bS2S9
2
2
2
2
22
= ba.
∴ abc.
【证法10】（李锐证明）
设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a），斜边的长为c. 做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A、E、G三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.
∵ ∠TBE = ∠ABH = 90o， ∴ ∠TBH = ∠ABE.
又∵ ∠BTH = ∠BEA = 90o，
BT = BE = b，
∴ RtΔHBT ≌ RtΔABE. ∴ HT = AE = a. ∴ GH = GT―HT = b―a.{关于勾股定理的证法}.
又∵ ∠GHF + ∠BHT = 90o，
∠DBC + ∠BHT = ∠TBH + ∠
∴ ∠GHF = ∠DBC.
Q
∵ DB = EB―ED = b―a，
∠HGF = ∠BDC = 90o， ∴ RtΔHGF ≌ RtΔBDC. 即 S7S2.
过Q作QM⊥AG，垂足是M. 由∠BAQ = ∠BEA = 90o，可知 ∠ABE = ∠QAM，而AB = AQ = c，所以RtΔABE ≌ RtΔQAM . 又RtΔHBT ≌ RtΔABE. 所以RtΔHBT ≌ RtΔQAM . 即 S8S5.
由RtΔABE ≌ RtΔQAM，又得QM = AE = a，∠AQM = ∠BAE.
5
篇三:《勾股定理17种证明方法》
勾股定理的证明
【证法1】（课本的证明）
做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.
从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等. 即
11
a2b24abc24ab
22， 整理得 a2b2c2.
【证法2】（邹元治证明）
以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积
1ab2等于. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B
三点在一条直线上，B{关于勾股定理的证法}.
、F、
C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上. ∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BEF.
∵ ∠AEH + ∠AHE = 90o, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90o. ∴ ∠HEF = 180o―90o= 90o.
∴ 四边形EFGH是一个边长为c的 正方形. 它的面积等于c2.
∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA.
∵ ∠HGD + ∠GHD = 90o, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90o. 又∵ ∠GHE = 90o,
∴ ∠DHA = 90o+ 90o= 180o.
2
ab∴ ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于.
∴
【证法3】（赵爽证明） 以a、b 为直角边（b>a）， 以c为斜
ab2
1
4abc2
222
2. ∴ abc.
边作四个全等的直角三角形，则每个直角
1ab
三角形的面积等于2. 把这四个直角三
角形拼成如图所示形状.
∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB.
∵ ∠HAD + ∠HAD = 90o， ∴ ∠EAB + ∠HAD = 90o，
∴ ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2. ∵ EF = FG =GH =HE = b―a , ∠HEF = 90o.
2
ba∴ EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于.
12
4abbac2
∴ 2.
∴ abc. 【证法4】（1876年美国总统Garfield证明）
以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面
1ab2积等于. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.
222
∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE, ∴ ∠ADE = ∠BEC.
∵ ∠AED + ∠ADE = 90o,
∴ ∠AED + ∠BEC = 90o.
∴ ∠DEC = 180o―90o= 90o. ∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形，
12c2它的面积等于.
又∵ ∠DAE = 90o, ∠EBC = 90o,
∴ AD∥BC.
1
ab2
∴ ABCD是一个直角梯形，它的面积等于2.
1
ab221ab1c2
22. ∴ 2
∴ abc.
【证法5】（梅文鼎证明）
做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P.
∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD,
222
∴ ∠EGF = ∠BED，
∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，
∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，
∴ ∠BEG =180o―90o= 90o.
又∵ AB = BE = EG = GA = c， ∴ ABEG是一个边长为c的正方形∴ ∠ABC + ∠CBE = 90o.
∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD, ∴ ∠ABC = ∠EBD. ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90o.
即 ∠CBD= 90o. 又∵ ∠BDE = 90o，∠BCP = 90o，
BC = BD = a.
∴ BDPC是一个边长为a的正方形. 同理，HPFG是一个边长为b的正方形. 设多边形GHCBE的面积为S，则
1
a2b2S2ab,
2 1
c2S2ab
2,
∴ abc.
【证法6】（项明达证明）
做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ，斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条
直线上.
过点Q作QP∥BC，交AC于点P. 过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点 F作FN⊥PQ，垂足为N. ∵ ∠BCA = 90o，QP∥BC， ∴ ∠MPC = 90o， C∵ BM⊥PQ，
∴ ∠BMP = 90o， ∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90o，
∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90o， ∴ ∠QBM = ∠ABC，
又∵ ∠BMP = 90o，∠BCA = 90o，BQ = BA = c， ∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.
222
同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF. 从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）. 【证法7】（欧几里得证明）
做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结
BF、CD. 过C作CL⊥DE， 交AB于点M，交DE于点
L.
K
∵ AF = AC，AB = AD， ∠FAB = ∠GAD，
∴ ΔFAB ≌ ΔGAD， ∵ ΔFAB
ΔGAD的面积等于矩形ADLM 的面积的一半， 2
∴ 矩形ADLM的面积 =a.
2{关于勾股定理的证法}.
同理可证，矩形MLEB的面积 =b.
∵ 正方形ADEB的面积
= 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积 222222
∴ cab ，即 abc. 【证法8】（利用相似三角形性质证明）
如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D.
在ΔADC和ΔACB中，
∵ ∠ADC = ∠ACB = 90o，
∠CAD = ∠BAC， ∴ ΔADC ∽ ΔACB.