【 – 小学作文】
勾股定理 证明方法(一)
勾股定理 证明方法(二)
几种简单证明勾股定理的方法
——拼图法、定理法 江苏省泗阳县李口中学沈正中
据说对社会有重大影响的10大科学发现，勾股定理就是其中之一。早在4000多年前，中国的大禹曾在治理洪水的过程中利用勾股定理来测量两地的地势差。迄今为止，关于勾股定理的证明方法已有500余种，各种证法融几何知识与代数知识于一体，完美地体现了数形结合的魅力。让我们动起手来，拼一拼，想一想，娱乐几种，去感悟数学
图
1
的神奇和妙趣吧！
一、拼图法证明（举例12种）
拼法一：用四个相同的直角三角形（直角边为a、b，斜边为c）按图2拼法。
问题：你能用两种方法表示左图的面积吗？对比两种不同的表示方法，你发现了什么？
图
2
2 分析图2：S正方形=（a+b）= c2 + 4×ab 2
化简可得：a2+b2 = c2
拼法二：做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像左
图那样拼成两个正方形。
从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等. 即
a2+b2+4×ab = c2+4×ab 整理得 a2+b2 = c2 22
拼法三：用四个相同的直角三角形（直角边为a、b，斜边为c）按图3拼法。
问题：图3是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的。在图3中用同样的办法研究，你有什么发现？你能验证a2+b2=c2吗？
图
3
图
4
分析图3：S正方形= c2 =（a-b）2+ 4×ab 2化简可得：a2+b2 = c2
观察图2、图3与图4的关系，并用一句话表示你的观点。
图4为图2与图3面积之和。 拼法四：用两个完全相同的直角三角形（直角边为a、
b，斜边为c）按图5拼法。
背景：在1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛
顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就
B
E
图
5
C
是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德（Garfield）．他发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在谈论着什么．由于好奇心的驱使，伽菲尔德向两个小孩走去，想搞清楚两个小
孩到底在干什么．只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形．于是伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到：“是5呀．”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味。
于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。
问题： 图5就是伽菲尔德总统的拼法，你知道他是如何验证的吗？你能用两种方法表示图5的面积吗？
伽菲尔德总统是这样分析的： S梯形ABCD=(a+b)2 2
S梯形ABCD=S△ABE+ S△ECD+ S△AED=ab+ab+c2 222则有：(a+b)2=ab+ab+c2 2222化简可得：a2+b2 = c2
比较图5与图2，你有什么发现？ 图5面积为图2之半。
拼法五：用四个相同的直角三角形（直角边为a、b，斜边为c），拼成图6，得边长分别为a、b、c正方形。
问题：观察图6，你能发现边长分别为a、b、c的正方形吗？你能通验证到：a2+b2 = c2吗？
图
6
分析：其实，图6可以转化为下面两图： 图a的面积可表示为：a2+b2+2×ab 2图b的面积可表示为：c2+2×ab 2比较a、b两图，你发现了什么？
图
a
图b
2
a2+b2+2×ab = c+2×ab
22
化简可得：a2+b2 = c2
D
拼法六：设直角三角形两直角边的长分别为a、b，斜边的长为c. 作边长是a+b的正方形ABCD把正方形ABCD划分成左图所示的几个部
分，则该正方形ABCD的面
2
积为（a＋b）＝a2＋b2＋2ab；
再把正方形ABCD划分成右
2
图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为（a＋b）＝c2+4×ab 2
由两正方形面积相等得 a2＋b2＋2ab＝c2+4×ab 整理得 a2+b2 = c2 2
拼法七：用四个相同的直角三角形（直角边为a、b，斜边为c）拼成图7。
问题：你能把图7转化为图c吗？通过位置变换，你发现了什么？你能发现边长分别为a、b、c的正方
图7
图c
形吗？能否验证到：a2+b2 = c2呢？ 分析：图7的面积可表示为：c2+4×ab 2
图c的面积可表示为：a2+b2+4×ab 2比较图c、图7，你发现了什么？
a2+b2+4×ab = c2+4×ab 化简可得：a2+b2 = c2 22
拼法八、九、十、十一、十二：制作一个五巧
板，如图8。
方法：先作一个直角三角形，直角边为a、b，斜边为c，以斜边为边长向内作正方形，并把正方形按图中实线分割为五个部分，这就是一个五巧板。
问题：运用五巧板，拼出图d、图e、图f、图
图8
a2+b2 = c2呢？你还有其它的拼法吗？
图d
图e
g，并仔细观察、比较，你发现了什么？能否验证到：
图g
图f
二、定理法证明（举例3种）
利用切割线定理证明
在RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c. 如图，以B为圆心a为半径作圆，交AB及AB的延长线分别于D、E，则BD = BE = BC = a. 因为∠BCA = 90o，点C在⊙B上，所以AC是⊙B 的切线. 由切割线定理，得
AC2=AE·AD＝(AB＋BE) (AB－BD)＝（c＋a）（c－a）＝c2－a2 从而可得 a2+b2 = c2
利用托勒密定理证明
在RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c（如图）. 过点A作AD∥CB，过点B作BD∥CA，则ACBD为矩形，矩形ACBD内接于一个圆. 根据托勒密定理，圆内
接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有
AB·DC＝AD·BC＋AC·BD 从而可得a2+b2 = c2
利用射影定理证明
如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D.
根据射影定理，得
AC2＝AD·AB， BC2＝BD·BA
即AC2＋BC2＝AD·AB＋BD·BA＝AB（AD＋BD）＝AB2 从而得a2+b2 = c2
品味各种拼图，方法各异，妙趣横生，证明思路别具匠心，极富创新。它们充分运用了几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，深刻体现了形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特魅力。
勾股定理 证明方法(三)
勾股定理的证明
【证法1】（课本的证明）
做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.
从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等. 即
11
a2b24abc24ab
22， 整理得 a2b2c2.
【证法2】（邹元治证明）
以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积
1ab2等于. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、
F、
C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上. ∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BEF.
∵ ∠AEH + ∠AHE = 90o, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90o. ∴ ∠HEF = 180o―90o= 90o.
∴ 四边形EFGH是一个边长为c的 正方形. 它的面积等于c2.
∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA.
∵ ∠HGD + ∠GHD = 90o, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90o. 又∵ ∠GHE = 90o,
∴ ∠DHA = 90o+ 90o= 180o.
a∴ ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于
∴
【证法3】（赵爽证明） 以a、b 为直角边（b>a）， 以c为斜 边作四个全等的直角三角形，则每个直角
ab2
1
4abc2
222
2. ∴ abc.
1ab2三角形的面积等于. 把这四个直角三
角形拼成如图所示形状.
∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB.
∵ ∠HAD + ∠HAD = 90o， ∴ ∠EAB + ∠HAD = 90o，
∴ ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2. ∵ EF = FG =GH =HE = b―a , ∠HEF = 90o.
2
ba∴ EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于.
12
4abbac2
∴ 2.
∴ abc. 【证法4】（1876年美国总统Garfield证明）
以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面
1ab2积等于. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.
222
∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE, ∴ ∠ADE = ∠BEC.
∵ ∠AED + ∠ADE = 90o,
∴ ∠AED + ∠BEC = 90o.
∴ ∠DEC = 180o―90o= 90o. ∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形，
12c2它的面积等于.
又∵ ∠DAE = 90o, ∠EBC = 90o,
∴ AD∥BC.
1
ab2
∴ ABCD是一个直角梯形，它的面积等于2. 1
ab221ab1c2
22. ∴ 2
∴ abc.
【证法5】（梅文鼎证明）
做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P.
∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD, ∴ ∠EGF = ∠BED，
∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，
222
∴ ∠BED + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BEG =180o―90o= 90o. 又∵ AB = BE = EG = GA = c，
∴ ABEG是一个边长为c的正方形. ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90o. ∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD, ∴ ∠ABC = ∠EBD.
∴ ∠EBD + ∠CBE = 90o. 即 ∠CBD= 90o.
又∵ ∠BDE = 90o，∠BCP = 90o，
BC = BD = a.
∴ BDPC是一个边长为a的正方形. 同理，HPFG是一个边长为b的正方形. 设多边形GHCBE的面积为S，则
1
a2b2S2ab,
2 1
c2S2ab
2,
A
∴ abc.
【证法6】（项明达证明）
做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ，斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条
直线上.
过点Q作QP∥BC，交AC于点P. 过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点 F作FN⊥PQ，垂足为N. ∵ ∠BCA = 90o，QP∥BC， ∴ ∠MPC = 90o， C∵ BM⊥PQ，
∴ ∠BMP = 90o， ∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90o，
∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90o， ∴ ∠QBM = ∠ABC，
又∵ ∠BMP = 90o，∠BCA = 90o，BQ = BA = c， ∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.
同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF. 从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）. 【证法7】（欧几里得证明）
222
做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点
在一条直线上，连结
BF、CD. 过C作CL⊥DE，
交AB于点M，交DE于点
KL. ∵ AF = AC，AB = AD， ∠FAB = ∠GAD， ∴ ΔFAB ≌ ΔGAD， 12
a
∵ ΔFAB的面积等于2ΔGAD的面积等于矩形ADLM
的面积的一半，
2
∴ 矩形ADLM的面积 =a2
b同理可证，矩形MLEB的面积 =.
∵ 正方形ADEB的面积
= 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积 222222
∴ cab ，即 abc. 【证法8】（利用相似三角形性质证明）
如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D.
在ΔADC和ΔACB中，
∵ ∠ADC = ∠ACB = 90o，
∠CAD = ∠BAC， ∴ ΔADC ∽ ΔACB.
AD∶AC = AC ∶AB， 2