【 – 小学作文】
篇一:《余弦定理的证明方法大全(共十法)》
余弦定理的证明方法大全(共十法)
一、余弦定理
余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的积的两倍,即在ABC中,已知ABc,BCa,CAb,则有
a2b2c22bccosA, b2c2a22cacosB, c2a2b22abcosC.
二、定理证明
为了叙述的方便与统一,我们证明以下问题即可:
在ABC中,已知ABc,ACb,及角A,求证:a2b2c22bccosA. 证法一:如图1,在ABC中,由CBABAC可得:
CBCB(ABAC)(ABAC)
ABAC2ABAC
b2c22bccosA
图1
2
2
即,a2b2c22bccosA.
证法二:本方法要注意对A进行讨论.
(1)当A是直角时,由b2c22bccosAb2c22bccos90b2c2a2知结论成立. (2)当A是锐角时,如图2-1,过点C作CDAB,交AB于点D,则
在RtACD中,ADbcosA,CDbsinA.
从而,BDABADcbcosA.
在RtBCD中,由勾股定理可得: BC2BD2CD2
(cbcosA)2(bsinA)2
c22cbcosAb2
A
图2-1
即,a2b2c22bccosA.
说明:图2-1中只对B是锐角时符合,而B还可以是直角或钝角.若B是直角,图中的
点D就与点B重合；若B是钝角,图中的点D就在AB的延长线上.
(3)当A是钝角时,如图2-2,过点C作CDAB,交BA延长线于点D,则 在RtACD中,ADbcos(A)bcosA,CDbsin(A)bsinA.
从而,BDABADcbcosA.
在RtBCD中,由勾股定理可得:
BCBDCD
(cbcosA)2(bsinA)2
c22cbcosAb2
图2-2
222
即,abc2bccosA.
综上(1),(2),(3)可知,均有a2b2c22bccosA成立. 证法三:过点A作ADBC,交BC于点D,则
BDAD
在RtABD中,sin,cos.
ccCDAD
在RtACD中,sin,cos.
bb
222
图3
由cosAcos()coscossinsin可得:
ADADBDCDADBDCD
cosA
cbcbbc
2AD22BDCDc2BD2b2CD22BDCD
2bc2bcb2c2(BDCD)2b2c2a2
2bc2bc
2
整理可得a2b2c22bccosA. 证法四:在ABC中,由正弦定理可得
abcc
. sinAsinBsinCsin(AB)
从而有bsinAasinB,………………………………………………………………①
csinAasin(AB)asinAcosBacosAsinB. …………………………②
将①带入②,整理可得acosBcbcosA.…………………………………………③ 将①,③平方相加可得a2(cbcosA)2(bsinA)2b2c22bccosA.
即,a2b2c22bccosA.
证法五:建立平面直角坐标系(如图4),则由题意可得点A(0,0),B(c,0),C(bcosA,bsinA),再由两点间距离公式可得a2(cbcosA)2(bsinA)2c22cbcosAb2.
即,a2b2c22bccosA.
证法六:在ABC中,由正弦定理可得a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC. 于是,a24R2sin2A4R2sin2(BC)
4R2(sin2Bcos2Ccos2Bsin2C2sinBsinCcosBcosC) 4R2(sin2Bsin2C2sin2Bsin2C2sinBsinCcosBcosC) 4R2(sin2Bsin2C2sinBsinCcos(BC)) 4R2(sin2Bsin2C2sinBsinCcosA)
(2RsinB)2(2RsinC)22(2RsinB)(2RsinB)cosA
b2c22bccosA
即,结论成立.
证法七:在ABC中,由正弦定理可得a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC. 于是,a2b2c22bccosA
4R2sin2A4R2sin2B4R2sin2C8R2sinBsinCcosA
2sin2A2sin2B2sin2C4sinBsinCcosA 2sin2A2cos2Bcos2C4sinBsinCcosA
22cos2A22cos(BC)cos(BC)4sinBsinCcosA 由于cos(BC)cos(A)cosA,因此
cos2Acos(BC)cos(BC)2sinBsinCcosA
cosAcos(BC)2sinBsinC
cosAcosBcosCsinBsinCcos(BC). 这,显然成立.
即,结论成立.
证法八:如图5,以点C为圆心,以CAb为半径作C,直线BC与C交于点D,E,延长
AB交C于F,延长AC交C于G.
G
A
则由作图过程知AF2bcosA, 故BF2bcosAc.
由相交弦定理可得:BABFBDBE, 即,c(2bcosAc)(ba)(ba), 整理可得:abc2bccosA.
2
2
2
图5
证法九:如图6,过C作CD∥AB,交ABC的外接圆于D,则ADBCa,BDACb.分别过C,D作AB的垂线,垂足分别为E,F,则AEBFbcosA,故CDc2bcosA.
由托勒密定理可得ADBCABCDACBD, 即,aac(c2bcosA)bb.
整理可得:abc2bccosA.
证法十:由图7-1和图7-2可得a2(cbcosA)2(bsinA)2, 整理可得:a2b2c22bccosA.
222
图6
c-bcosA
余弦定理的证明方法还有很多,比如可以用物理方法证明、可以构造相似三角形证明、可以利用图形面积证明等.感兴趣的读者可以到图书馆或互联网中进行查询.
图7-1
图7-2
篇二:《余弦定理的三种证明》
△ABC中的三个内角∠A，∠B，∠C的对边，分别用a,b,c表示.
余弦定理 三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. 即
c2=a2+b2-2abcosC, b2=a2+c2-2accosB, a2=b2+c2-2bccosA
证明：按照三角形的分类，分三种情形证明之. (1)在RtABC中，如图1-1 根据勾股定理: c=a+b
因为cosC=0,所以c=a+b-2abcosC
2
2
2
2
2
2
A
a222
,所以b=a+c-2accosB cb222
因为cosA=,所以a=b+c-2bccosA
c
因为cosB=
（2）在锐角△ABC中，如图1-2 作CDAB于点D，有
b
c
C a
B C
CD=asinB,BD=acosB，AD=AB-BD=c-acosB
b
b2=CD2+AD2=(asinB)2+(c-acosB)2=a2+c2-2accosB
同理可证：
A
c
B
D
c2=a2+b2-2abcosC, a2=b2+c2-2bccosA
（3）在钝角△ABC中，如图1-3
作CDAB，交AB的延长线于点D，则
CD=asinCBD=asinB,BD=acosCBD=-acosB， AD=AB+BD=c-acosB
b2=CD2+AD2=(asinB)2+(c-acosB)2=a2+c2-2accosB
按照（2）的方法可以证明：
b
a
c2=a2+b2-2abcosC, a2=b2+c2-2bccosA
综上所述，在任意的三角形中，余弦定理总是成立.
A
B D
证明：在△ABC中，令AB=c，AC=b，BC=a
aBCBAACbc
22222
|a|(bc)b2bcc|b|2|b||c|cosA|c|2
即a=b+c-2bccosA
同理可证：c=a+b-2abcosC, b=a+c-2accosB
证明：对于任意一个ABC，建立直角坐标系如图所示， 那么A(bcosC,bsinC)，B(a,0)
因为余弦定理中涉及到c，我们自然想到计算AB的长度。 根据两点间的距离公式，我们有：
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
A c{求证余弦定理}.
B
a
b
C
c2|AB|2(bcosCa)2(bsinC)2a2b22abcosC，
即cab2abcosC
2
2
2
篇三:《余弦定理公式的含义及其证明》
余弦定理公式的含义及其证明
少三(2) 宋伊辰
在做参考书的时候，我有时会遇到“已知一个一般三角形的两边长及其夹角的度数，要求第三边长度”的情况。与直角三角形不同，这时直接求第三边长显得有些困难，往往要花很大力气。那么，有没有什么方法可以直接求解呢？
我向爸爸提出了我的疑问。
“可以用余弦定理求啊。”他回答道。
“余弦定理是什么？”怀着满腹的疑问，我开始上网搜寻答案。
余弦定理，是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理，是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题。
如左图所示，在△ABC中，余弦定理可表示为：
同理，也可描述为：
那么，我们又如何证明余弦定理的成立呢？我又对此展开了探究。
法一（代数证明）：
如右图所示，△ABC，在c上做高，将c边写作：
将等式两边同乘以c得到：
同理， ①
②
①+②得：
法二（运用相交弦定理证明）：
如图，在三角形ABC中，∠A=α，AB=a，BC=b，AC=c以B 为圆心，以长边AB为半径做圆（这里要用长边的道理在于，这样能保证C点在圆
内）。
延长BC，交⊙B于点D和E
∴DC=a-b，CE=a+b，AC=c
∵AG=2acosα
∴CG=2acosα-c。
∵DC×CE=AC×CG
∴(a-b)(a+b)=c(2acosα-c)
化简得：b2a2c22ac(cosα)
，
法三（平面几何）： 在△ABC中，已知AC=b，BC=a，∠C=γ，求c。 过点A作AD⊥BC于D，
∴AD=AC·sinγ=b·sinγ，CD=AC·cosγ=b·cosγ
∴BD=BC-CD=a- b·cosγ
在Rt△ABD中，∠ADB=90°
∴AB2AD2BD2（b·sinγ)2+（a- b·cosγ)2
﹦ab2abcosγ
法四(解析几何)：
以点C为原点O，AC为x轴，建立如右图所示的平
面直角坐标系。
在△ABC中，AC=b， CB=a，AB=c，则A，B，C点的
坐标分别为A(b，0)，B(acosC，asinC)，C(0，0)．
|AB|2(acosCb)2(asinC0)2
222 acos2C2abcosCbasin2C 22B D C
ab2abcosC
即cab2abcosC
经过一番思考和尝试，我成功地运用多种方法证明了余弦定理公式。那么，这个公式在实际的题目当中有什么应用呢？
网上的资料给了我答案。
余弦定理可应用于以下两种需求：
1、当已知三角形的两边及其夹角，可由余弦定理得出已知角的对边。
2、当已知三角形的三边，可以由余弦定理得到三角形的三个内角。
余弦定理还可以变换成以下形式： 22222
b2c2a2
abc2bccosA cosA2bc22
c2a2b2
bca2accosB cosB2ca22
a2b2c2
cab2abcosC cosC2ab22
由此看来，余弦定理是一个简洁却实用的公式。它是勾股定理在一般三角形情形下的推广，应用也更广泛。余弦定理是高中数学中的一条基本定理，但它却在平面几何，立体几何，平面三角形解析等领域中发挥着巨大的作用。
篇四:《余弦定理的八种证明方法》
余弦定理的八种证明方法
2011年高考数学卷（陕西卷）考出了“说明并证明余弦定理”这个考题,使平时不注重翻阅课本的同学大部分吃了亏，虽然这是书本上的知识，且课本上只给出了一种证明方法，但仍让同学们很难想到会考这个证明题，因此我们利用这次研究性学习活动，以论文的方式来介绍一下多种余弦定理的证明方法，来增强我们对课本知识的理解。
用多种方法证明余弦定理，扩展思维，了解更多的过程。
余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形便可适当移于其它知识。
一余弦定理的内容
对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍积，若三边为a，b，c 三角为A，B，C ，则满足性质
a = b + c- 2·b·c·cosA{求证余弦定理}.
b = a + c – 2·a·c·cosB
c = a + b – 2·a·b·cosC
二证明方法
方法一：平面几何法
∵如图，有a+b=c ∴c·c=(a+b)·(a+b)
∴c=a·a+2a·b+b·b ∴c=a+b+2|a||b|cos(π-θ)
又∵Cos(π-θ)=-Cosθ ∴c
=a+b-2|a||b|cosθ
再拆开，得c^2=a+b-2*a*b*cosC
方法二：勾股法
在任意△ABC中
做AD⊥BC.
∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a
则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c
根据勾股定理可得：
AC=AD+DC
b=(sinB*c)+(a-cosB*c)
b=(sinB*c)+a-2ac*cosB+(cosB)*c
b=(sinB+cosB)*c-2ac*cosB+a
b=c+a-2ac*cosB
方法三：解析法
在三角形ABC建立直角坐标系，使A点为原点，B点落在x轴正半轴上，
设三角形三边abc
则有三点坐标为A（0，0）B（c，0）C（bcosA，bsinA）
∵BC=a
则由距离公式得a=（c-bcosA）2-（bsinA）
化简得a=c+b-2bccosA
∴a=c+b-2bccosA
方法四：面积法
S△ACQ=(1/2)bc(cos∠BAC),
S△PBC=(1/2)ac(cos∠CBA),
bc(cos∠BAC)+ac(cos∠CBA)=2(S△ACQ+S△PBC)=c,
同理，ac(cos∠CBA)+ab(cos∠ACB)=a,
ab(cos∠ACB)+bc(cos∠BAC)=b.
联立三个方程，
bc(cos∠BAC)+ac(cos∠CBA)=c（1）
ac(cos∠CBA)+ab(cos∠ACB)=a（2）
ab(cos∠ACB)+bc(cos∠BAC)=b（3）{求证余弦定理}.
易得余弦定理
方法五：正弦法 ∵＝＝ ∴＝bsinB＝csinC＝absinAsinB
∴a+b-csinA+sinB-sinC＝absinAsinB
∴a+b-c=absinAsinB
又∵sinA=1-cos2A2
sinB=1-cos2B2 （sinA+sinB-sinC）（1）
∴sinA+sinB=1-（cos2A+cos2B）=1-cos（A+B）cos（A-B）
ΔABC中cos（A+B）=cos（180°-C）=-cosC
∴sinA+cosB=1-cosCcos（A-B）（2）
（2）带入（1）得
a+b-c=
=
=
=
=2abcosC [1+cosCcos（A-B）-sinC] [cosC+cosCcos（A-B）] cosC[cosC+cos（A-B）] cosC[-cos（A+B）+cos（A-B）]
∴c=a+b-2abcosC
同理可证
b=a+c-2accosB
a=c+b-2bccosA
方法六：摄影定理法
∵a=bcosC+ccosB（1）
b=acosC+ccosA(2)
c=bcosA+acosB(3)
∴（1）×a+（2）×b-（3）×c得
c=a+b-2abcosC
同理可证
b=a+c-2accosB
a=c+b-2bccosA
方法七：复数法
如下图，在复平面内作△ABC，则
= =a（cosB+isinB）， =b[cos（－A）+i sin（－A）]，这里C'是平行四边形ACBC'的顶点，
＝＋＝＋。 根据复数加法的几何意义可知，
所以c=a（cosB+isinB）+b[cos（－A）+i sin（－A）]
=（acosB+bcosA）+（asinB－bsinA）i。 （*）
根据复数相等的定义，
有asinB－bsinA=0，
即。
对（*）式两边取模，得
c=（acosB+bcosA）＋（asinB－bsinA）
=a+b+2abcos（B+A）
=a+b－2abcosC
其他各式同理可证。
方法八：物理法
设三角形ABC是边长分别为a、b、c的通电导线框，其电流长度为I。
现将它置于磁感应强度为B的匀强磁场中且线框平面与磁场方向垂直，
那么三角形ABC的三边所受的安培力如图1所示，其大小分别为
Fa=BIa
Fb=BIb（1）
Fc=BIc
很显然，这三个力是相互平衡的共点力，它们的作用线相交与三角形ABC的外心O，现以O点为原点，分别建立如图2甲、丙所示的直角坐标系，对Fa、Fb、Fc进行正交分解，根据甲图，有
FasinB-FbsinA=0
FacosB-FbcosA=Fc （2）
同理，根据乙图、丙图分别有
FbsinC-FcsinB=0
篇五:《余弦定理的证明方法集锦》
余弦定理的证明方法集錦
江苏省泗阳县李口中学沈正中
余弦定理和勾股定理一样，证明方法也有很多种,下面给出比较
经典的几种证明方法，供大家参考！
余弦定理：三角形任一边的平方等于另外两边的平方和减去这两
边与其夹角余弦的积的二倍。
如图1所示，在△ABC中，若AB＝c，BC＝
a，CA＝b，则c2＝a2＋b2－2abcosC（或a2＝b2＋
c2－2bccosA或b2＝c2＋a2－2cacosB）。
【证法1】如图2，在锐角△ABC中，作AD⊥BC于D，则CD
＝bcosC，AD＝bsinC，在△ABD中，由勾股定理，得AB2＝BD2＋
AD2，即AB2＝(a－bcosC)2＋(bsinC)2＝
a2－2abcosC＋b2cos2C＋b2sinC2＝
a2－2abcosC＋b2，即c2＝a2＋b2－2abcosC。
当C重合于D时，在Rt△ABC中，
∠C＝90°，因cosC＝0，所以c2＝a2＋b2。
当C在D左侧时，△ABC为钝角三角
形，如图3所示，∠ACD＝180°－C，cos
∠ACD＝cos(180°－C)＝－cosC，sin∠
ACD＝sin(180°－C)＝sinC，所以CD＝
bcos(180°－C)＝－bcosC，AD＝b
sin(180°－C)＝b sinC，在Rt△ABD中，由勾股定理，得AB2＝BD2
＋AD2，即AB2＝(a－bcosC)2＋(bsinC)2＝a2－2abcosC＋b2cos2C＋
b2sinC2＝a2－2abcosC＋b2，即c2＝a2＋b2－2abcosC。
【证法2】将△ABC的顶点C置于原点，CA落在x轴的正半轴
上，如图4所示，则A，B，C三点的坐标分别为A(b，0)，B(acosC，
asinC)，C(0，0)。由此得
|AB|2＝(acosC－b)2＋(asinC－0)2
＝a2cos2C－2abcosC＋b2＋a2sin2C＝a2＋b2－
2abcosC，即c2＝a2＋b2－2abcosC 。
【证法3】由正弦定理 变形，
得 ，所以 a2＋b2－c2＝4R2(sin2A＋sin2B－sin2C)
因sin2A＋sin2B－sin2C
＝－cos(A＋B) cos(A－B)＋cosC 2
＝cosCcos(A－B)＋cos2C＝cosC［cos(A－B)＋cosC］
＝cosC［cos(A－B)－cos(A＋B)］＝2sinAsinBcosC，
所以a2＋b2－c2＝4R2·2sinAsinBcosC＝2·2RsinA·2RsinB·cosC
＝2abcosC，即c2＝a2＋b2－2abcosC。
【证法4】由正弦定理，得
从而有asinB＝bsinA……①，
csinA＝asin(A＋B)＝asinAcosB＋acosAsinB……②，
①代入②，整理得 acosB＝c－bcosA……③，
①2＋②2，可得a2＝(bsinA)2＋(c－bcosA)2＝b2＋c2－2bccosA，
即c2＝a2＋b2－2abcosC。
【证法5】如图5所示，令∠A=α，以B为
圆心，以长边AB为半径画圆（这里用长边的
原因是保证C点在圆内）。延长BC交⊙B于点
D和E，则DC＝c－a，CE＝c＋a，AC＝b，
∵AG＝2ccosα，∴CG＝2ccosα－b，