【 – 高中作文】
线面平行证明(一)
线面平行证明的常用方法
摘要：立体几何在高考解答题中每年是必考内容，线面平行的证明经常出现,很多同学总觉得证明方法很多很繁,在这里给大家用作辅助线的常用方法及空间坐标系的方法进行阐述。
关键词：找平行线；找第三个点；作平行平面；建立空间坐标系
立体几何在高考解答题中每年是必考内容，必有一个证明题；证明的内容包括以下内容：平行与垂直（线线平行、线面平行、面面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直等），我们现在对线面平行这一方面作如下探讨： 在线面平行这节里有三个重要的定理： 直线与平面平行的判定性定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条
直线平行，那么这条直线和这个平面平行。 直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平
面和这个平面相交，那么这条直线和这个交线平行。 平面与平面平行的性质定理：如果两个平面是平行，那么在其中一个平面内的直
线和另一个平面平行。
从前面两个定理不难发现：要证线面平行(那么这条直线一定是平行于这个平面的),由性质定理可以得到这样一个结论：只要过这条直线作一个与平面相交的平面，那这个直线一定是与交线平行得。这样我们就可以找到与平面内的直线平行的直线。那么关键是怎样作一个平面与已知平面相交且过直线的平面。下面给大家介绍
方法一：两平行线能确定一个平面，过已知直线的两个端点作两条平行线使它们
与已知平面相交，关键：找平行线，使得所作平面与已知平面的交线。
（08浙江卷）如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE//CF，
BCF=CEF=90,AD=3,EF=2。求证：AE//平面DCF.
分析：过点E作EG//AD交FC于G， DG就是平面
与平面DCF的交线，那么只要证明AE//DG即可。 证明：过点E作EGCF交CF于G，连结DG，
可得四边形BCGE为矩形， 又ABCD为矩形，
∥EG，从而四边形ADGE为平行四边形， 所以AD
故AE∥DG．
因为AE平面DCF，DG平面DCF，
所以AE∥平面DCF．
方法二：直线与直线外一点有且仅有一个平面，关键：找第三个点,使得所作平
面与已知平面的交线。
（06北京卷）如图，在底面为平行四边形的四棱锥PABCD中，ABAC，PA平面ABCD，且PAAB，点E是PD的中点.求证：PB//平面AEC. 分析：由D、P、B三点的平面与已知平面AEC的交线最易找，第三个点选其它的点均不好找交线.
证明：连接BD，与 AC 相交于 O，连接
∵ABCD 是平行四边形， ∴O 是 BD 的中点 又 E 是 PD 的中点 ∴EO∥PB.
又 PB平面 AEC，EO平面 AEC，
∴PB∥平面 AEC.
方法三：两个平面是平行
, 其中一个平面内的直线和另一个平面平行,关键：作
平行平面，使得过所证直线作与已知平面平行的平面
（０８安徽卷）如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD四边长为1的菱形，
ABC, OA底面ABCD, OA2,M为OA的中点，N为BC的中
4
点，证明：直线MN‖平面OCD 分析：M为OA的中点,找OA(或AD)中点,再连线。
证明：取OB中点E，连接ME，NE
ME‖AB,AB‖CD，ME‖CD
又NE‖OC,平面MNE‖平面OCD MN‖平面OCD
方法四：（向量法）所证直线与已知平面的法向量垂直，关键：建立空间坐标系
（或找空间一组基底）及平面的法向量。
（07全国Ⅱo理）如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD为正方形， 侧棱SD⊥底面ABCD，E，F分别为AB，SC的中点．证明EF∥平面SAD；
分析：因为侧棱SD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，所以很容易建立空间直角坐标系及相应的点的坐标。
证明：如图，建立空间直角坐标系Dxyz．
0，0)，S(0，0，b)，则B(a，a，0)，C(0，a，0)，设A(a，
Eaa，0
，F0ab222，
EFba，0
2．
因为y轴垂直与平面SAD，故可设平面的法向量为n
=（0，1，0）
则：EFnba，0
2
（0，1，0）
=0 因此 EFn
所以EF∥平面SAD．
线面平行证明(二)
线面平行证明题
1．一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是（ ）.
A. 异面 B. 相交 C. 平行 D. 不能确定
2．若直线a、b均平行于平面α，则a与b的关系是（ ）.
A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 平行或相交或异面 3．已知l是过正方体ABCD—A1B1C1D1的顶点的平面AB1D1与下底面ABCD所在平面的交线，下列结论错误的是（ ）.
A. D1B1∥l B. BD//平面AD1B1 C. l∥平面A1D1B1 D. l⊥B1 C1
4．在下列条件中，可判断平面α与β平行的是（ ）. A. α、β都平行于直线l
B. α内存在不共线的三点到β的距离相等 C. l、m是α内两条直线，且l∥β，m∥β
D. l、m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β 5．下列说法正确的是（ ）.
A. 如果两个平面有三个公共点，那么它们重合
B. 过两条异面直线中的一条可以作无数个平面与另一条直线平行 C. 在两个平行平面中，一个平面内的任何直线都与另一个平面平行 D. 如果两个平面平行，那么分别在两个平面中的两条直线平行 6．下列说法正确的是（ ）.
A. 直线外一点有且只有一个平面与已知直线平行
B. 经过两条平行线中一条有且只有一个平面与另一条直线平行 C. 经过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行
D. 经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行
7．已知P是正方体ABCD-A1B1C1D1棱DD1上任意一点，则在
正方体的12条棱中，与平面ABP平行的是 .
8．已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E、F分别为AB、PD的中点，
求证：AF∥平面PEC
9. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为棱BC、C1D1的 中点. 求证：EF∥平面BB1D1D.
D
A
10．如图，已知E、F、G、M分别是四面体的棱AD、CD、BD、BC的中点， 求证：AM∥平面EFG.
B
D11．如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC（1）求证：MN//平面PAD；
1
（2）若E在PC上，CECP，过ADE做一平面与PB交与F点，是确定F点位置。
3
12. 已知四棱锥P-ABCD中, 底面ABCD为平行四边形. 点M、N、Q分别在PA、BD、PD上, 且PM：MA=BN：ND=PQ：QD.
求证：平面MNQ∥平面PBC.
13. 如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是平行四边形，，E为 侧棱PC上一点 且PA//面BDE，求
14.在正方体AC1中 ，
PEPC
的值。
C
A
AEAA1
13
,过ED1和B作出正方体的截面
A1
′
E
线面平行证明(三)
线面平行证明(四)
线面平行证明的常用方法 张磊
立体几何在高考解答题中每年是必考内容，必有一个证明题；重点考察：平行与垂直（线线平行、线面平行、面面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直等），我们现在对线面平行这一方面作如下探讨：
方法一：中位线型：找平行线。
例1、如图⑴，在底面为平行四边形的四棱锥PABCD中，点E是PD的中点.求证：PB//平面AEC
方法二：构造平行四边形，找平行线
AE//平面DCF.
分析：过点E作EG//AD交FC于G， DG就是平面AEGD
与平面DCF的交线，那么只要证明AE//DG即可。
例2、如图⑵, 平行四边形ABCD和梯形BEFC所在平面相交，BE//CF，求证：
方法三：作辅助面使两个平面是平行, 即：作平行平面，使得过所证直线作与已
知平面平行的平面
例3、如图⑷，在四棱锥OABCD中，底面ABCD为菱形， M为OA的中点，N为BC的中点，证明：直线MN‖平面OCD
分析：：取OB中点E，连接ME，NE，只需证平面MEN平面OCD。 方法四：利用平行线分线段成比例定理的逆定理证线线平行。
例4、已知正方形ABCD和正方形ABEFAC和BF上，且AM=FN. 求证：MN‖平面BCE.
如图⑷ 如图⑸ 如图⑹
例5．如图⑸，已知三棱锥Ｐ—ＡＢＣ，Ａ′，B′，C′是△PBC,△PCA,△PAB的重心.
(1)求证：Ａ′Ｂ′∥面ＡＢＣ；
(2)求S△A′B′C′：S△ABC .
方法五：（向量法）所证直线与已知平面的法向量垂直，关键：建立空间坐标系
（或找空间一组基底）及平面的法向量。
例6、如图⑹，在四棱锥SABCD中，底面ABCD为正方形，
，E，F分别为AB，SC的中点．证明EF∥平面侧棱SD⊥底面ABCD
SAD；
分析：因为侧棱SD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，所以很容易建立空间直角坐标系及相应的点的坐标。
证明：如图，建立空间直角坐标系Dxyz．
设A(a， 0，0)，S(0，0，b)，则B(a，a，0)，C(0，a，0)，aEa，0，F2
bEFa，02
ab0， 22． 因为y轴垂直与平面SAD，故可设平面的法向
量为n=（0，1，0） b则：EFna，02=0 （0，1，0）
因此 EFn
所以EF∥平面SAD．
线面平行证明(五)
线面平行证明(六)
证明线面平行的方法：
（1）线面平行的判定定理——
（2）面面平行的性质定理——
若两平面平行,则一平面内的任一直线与另一面平行
( 3 )定义法——
线面无公共点
aαbα
a//b∥α
证明面面平行的方法
（1）面面平行的判定定理1——
若一平面内的两相交直线都平行于另一平面，则两平面平行
（2）面面平行的判定定理2——
垂直于同一直线的两平面平行
( 3) 面面平行的判定定理3——
同时与第三个平面平行的两平面平行
证明线线平行的方法
（1） 线面平行的性质定理——
lβ
α∩β=ml//αm∥α
（2）面面平行的性质定理——
若一平面与两平行平面同时相交,则两交线平行
3、线面垂直的性质定理——
同时与一平面垂直的两直线平行
4、公理4——
平行于同一直线的两直线平行
5、定义——
两线共面且无公共点
证明线面垂直的方法
（1） 线面垂直的判定定理——
直线与平面内的两相交直线垂直
（2） 面面垂直的性质——
若两平面垂直,则在一面内垂直于交线的直线必垂直于另一平面
3、线面垂直的性质——
两平行线中有一条与平面垂直，则另一条也与平面垂直
4、面面平行的性质——
一线垂直于二平行平面之一,则必垂直于另一平面
5、定义法——
直线与平面内任一直线垂直
线面平行证明(七)
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