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初中列方程的经典题型 初中解分式方程题型

初中作文 zuowen 2浏览 0评论

【 – 初中作文】

篇一:《中考数学一元二次方程应用题经典题型汇总》

一元二次方程应用题经典题型汇总

一、增长率问题

例1 恒利商厦九月份的销售额为200万元,十月份的销售额下降了20%,商厦从十一月份起加强管理,改善经营,使销售额稳步上升,十二月份的销售额达到了193.6万元,求这两个月的平均增长率.

解: 设这两个月的平均增长率是x.,则根据题意,得200(1-20%)(1+x)2=193.6, 即(1+x)2=1.21,解这个方程,得x1=0.1,x2=-2.1(舍去).

答 这两个月的平均增长率是10%.

说明 这是一道正增长率问题,对于正的增长率问题,在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义,即可利用公式m(1+x)2=n求解,其中m<n.对于负的增长率问题,若经过两次相等下降后,则有公式m(1-x)2=n即可求解,其中m>n.

二、商品定价

例2 益群精品店以每件21元的价格购进一批商品,该商品可以自行定价,若每件商品售价a元,则可卖出(350-10a)件,但物价局限定每件商品的利润不得超过20%,商店计划要盈利400元,需要进货多少件?每件商品应定价多少?

解 根据题意,得(a-21)(350-10a)=400,整理,得a2-56a+775=0,

解这个方程,得a1=25,a2=31.

因为21×(1+20%)=25.2,所以a2=31不合题意,舍去.

所以350-10a=350-10×25=100(件).

答 需要进货100件,每件商品应定价25元.

说明 商品的定价问题是商品交易中的重要问题,也是各种考试的热点.

三、储蓄问题

例3 王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”,到期后将本金和利息取出,并将其中的500元捐给“希望工程”,剩余的又全部按一年定期存入,这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%,这样到期后,可得本金和利息共530元,求第一次存款时的年利率.(假设不计利息税)

解 设第一次存款时的年利率为x.

则根据题意,得[1000(1+x)-500](1+0.9x)=530.整理,得90×2+145x-3=0.

解这个方程,得x1≈0.0204=2.04%,x2≈-1.63.由于存款利率不能为负数,所以将x2≈-1.63舍去.

答 第一次存款的年利率约是2.04%.

说明 这里是按教育储蓄求解的,应注意不计利息税.

四、趣味问题

例4 一个醉汉拿着一根竹竿进城,横着怎么也拿不进去,量竹竿长比城门宽4米,旁边一个醉汉嘲笑他,你没看城门高吗,竖着拿就可以进去啦,结果竖着比城门高2米,二人没办法,只好请教聪明人,聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿,二人一试,不多不少刚好进城,你知道竹竿有多长吗?

解 设渠道的深度为xm,那么渠底宽为(x+0.1)m,上口宽为(x+0.1+1.4)m. 则根据题意,得1(x+0.1+x+1.4+0.1)·x=1.8,整理,得x2+0.8x-1.8=0. 2

解这个方程,得x1=-1.8(舍去),x2=1.

所以x+1.4+0.1=1+1.4+0.1=2.5.

答 渠道的上口宽2.5m,渠深1m.

说明 求解本题开始时好象无从下笔,但只要能仔细地阅读和口味,就能从中找到等量关系,列出方程求解.

五、古诗问题

例5 读诗词解题:(通过列方程式,算出周瑜去世时的年龄).

大江东去浪淘尽,千古风流数人物;

而立之年督东吴,早逝英年两位数;

十位恰小个位三,个位平方与寿符;

哪位学子算得快,多少年华属周瑜?

解 设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x,则十位数字为x-3.

则根据题意,得x2=10(x-3)+x,即x2-11x+30=0,解这个方程,得x=5或x=6. 当x=5时,周瑜的年龄25岁,非而立之年,不合题意,舍去;

当x=6时,周瑜年龄为36岁,完全符合题意.

答 周瑜去世的年龄为36岁.

说明 本题虽然是一道古诗问题,但它涉及到数字和年龄问题,通过求解同学们应从中认真口味.

六、象棋比赛

例6 象棋比赛中,每个选手都与其他选手恰好比赛一局,每局赢者记2分,输者记0分.如果平局,两个选手各记1分,领司有四个同学统计了中全部选 手的得分总数,分别是1979,1980,1984,1985.经核实,有一位同学统计无误.试计算这次比赛共有多少个选手参加.

解 设共有n个选手参加比赛,每个选手都要与(n-1)个选手比赛一局,共计n(n-

1)局,但两个选手的对局从每个选手的角度各自统计了一次,因此实际比赛总局数应为1n(n-1)局.由于每局共计2分,所以全部选手得分总共为n(n-1)分.显然(n-1)与n为相2

邻的自然数,容易验证,相邻两自然数乘积的末位数字只能是0,2,6,故总分不可能是1979,1984,1985,因此总分只能是1980,于是由n(n-1)=1980,得n2-n-1980=0,解得n1=45,n2=-44(舍去).

答 参加比赛的选手共有45人.

说明 类似于本题中的象棋比赛的其它体育比赛或互赠贺年片等问题,都可以仿照些方法求解.

七、情景对话

例7 春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游,推出了如图1对话中收费标准.

某单位组织员工去天水湾风景区旅游,共支付给春秋旅行社旅游费用27000元.请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游?

解 设该单位这次共有x名员工去天水湾风景区旅游.因为1000×25=25000<27000,所以员工人数一定超过25人.

则根据题意,得[1000-20(x-25)]x=27000.

整理,得x2-75x+1350=0,解这个方程,得x1=45,x2=30.

当x=45时,1000-20(x-25)=600<700,故舍去x1;

当x2=30时,1000-20(x-25)=900>700,符合题意.

答:该单位这次共有30名员工去天水湾风景区旅游.

说明 求解本题要时刻注意对话框中的数量关系,求得的解还要注意分类讨论,从中找出符合题意的结论.

八、等积变形

例8 将一块长18米,宽15米的矩形荒地修建成一个花园(阴影部分)所占的面积为原来荒地面积的三分之二.(精确到0.1m)

(1)设计方案1(如图2)花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路.

(2)设计方案2(如图3)花园中每个角的扇形都相同.

以上两种方案是否都能符合条件?若能,请计算出图2中的小路的宽和图3中扇形的半径;若不能符合条件,请说明理由.

解 都能.(1)设小路宽为x,则18x+16x-x2=图1 2×18×15,即x2-34x+180=0, 3

解这个方程,得x

=34,即x≈6.6. 2

(2)设扇形半径为r,则3.14r2= ×18×15,即r2≈57.32,所以r≈7.6.

说明 等积变形一般都是涉及的是常见图形的体积,面积公式;其原则是形变积不变;或形变积也变,但重量不变,等等.

BQ

CP

图4 图2 九、动态几何问题 图3

例9 如图4所示,在△ABC中,∠C=90°,AC=6cm,BC=8cm,点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动,点

Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动.

(1)如果P、Q同时出发,几秒钟后,可使△PCQ的面积为8平方厘米?

(2)点P、Q在移动过程中,是否存在某一时刻,使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半.若存在,求出运动的时间;若不存在,说明理由.

解 因为∠C=90°,所以AB10(cm).

(1)设xs后,可使△PCQ的面积为8cm2,所以 AP=xcm,PC=(6-x)cm,CQ=2xcm. 则根据题意,得

=4.

所以P、Q同时出发,2s或4s后可使△PCQ的面积为8cm2.

(2)设点P出发x秒后,△PCQ的面积等于△ABC面积的一半.

则根据题意,得1·(6-x)·2x=8.整理,得x2-6x+8=0,解这个方程,得x1=2,x22111(6-x)·2x=××6×8.整理,得x2-6x+12=0. 222

由于此方程没有实数根,所以不存在使△PCQ的面积等于ABC面积一半的时刻.

说明 本题虽然是一道动态型应用题,但它又要运用到行程的知识,求解时必须依据路程=速度×时间.

篇二:《初中数学运算能力和方程应用题经典试题》

初中数学计算能力练习

同底数幂的乘法aaa

m

n

mn

同底数幂的除法aaa

mnmn

零指数幂a1

p

幂的乘方(am)namn 积的乘方(ab)nanbn 负指数幂a

1 pa

平方差公式:(ab)(a-b)a2b2 完全平方公式:(ab)2a22abb2 一、整式化简求值

1.下列运算正确的是( )

(A)xxx (B)(xy)2xy2 (C)(x2)3x6 (D)xxx 2.下列运算正确的是( ) A.aaa

3

22

2

2

2

2

2

4

B.(ab)3ab3 C.(a2)3a6 D.a

10

a2a5

3.计算2xx的结果是( )

565

A.2x B.2x C.2x D.x 4.下列计算正确的是( ). A.aaa B.a2

2

3

6

3

a8 C.a6a2a3 D.ab3

2

a2b6

5.下列运算中正确的是( )

A.3a2a5a2 B.(2ab)(2ab)4a2b2 C.2a2a32a6 D.(2ab)24a2b2 6.下列计算结果正确的是( )

A.(a)a

32

9

B.aaa

236

C.()

12

1

1

222 D.(cos60)01

2

7.下列运算正确的是( )

A.(3xy2)2=6x2y4 B.2x21 C.(-x)7÷(-x)2=-x5 D.(6xy2)2÷3xy=2xy3

4×8.若mn6,且mn3,则mn 9.若xy3,xy1,则x2y2 10.计算:(x2)(x2)x(3x). 11.化简:(13a)22(13a).

12.化简:mnmnmn22m2.

322

13.先化简,再求值:(ab)(ab)(4ab8ab)4ab 其中a2,b1 2

14.先化简,再求值:(x1)(x1)x(x1),其中x2.

2

2

2

15.已知x2x1,求(x1)(3x1)(x1)的值

2

16.已知y2x1,求代数式(y1)(y4x)的值.

– 1 –

22

二、因式分解

1、axaya 2、 3mx6mx 3、4a10ab 4、x2yxy2 5、12xyz9x2y2 6、x(ab)y(ab) 7、(yx)3y(yx)2 8、18b(ab)212(ab)3 9、125b 10、x1 11、2x4x2 12、x4x4 13、x5x 14、x3y2x2y2xy3

22

2

2

4

2

2

15、3x6x3 16、25(xy)29(xy)2 三、分式化简求值

2

a1a1a21a2abb

22

2

a 2、 aaa 3、 a2a1a1 1、a

a29a2b211

4、a3a3 5、x1x1 6、 abab

a2mn2mn9a3

2 2

mnmnmna33aa7、 8、

1a24a42x25y10y

)9、2 10、(12

a1a2a3y6x21x2a2a21

(a1)211.,其中a2。 a1a2a1ab2abb2

(a),其中a2011,b2010 12. aa{初中列方程的经典题型}.

1×24

)13.(1,其中x3。 x3x3

x2312

2)14.(,其中x满足x2x30 x1x1

x3x21

x)(1)15.(,再选择一个合适的x的值代入求值。 x11x2x1

– 2 –

四、根式计算

1

、 2、937548 3、 340

212 4、(74)(23)2 510

1

(12)2 6、454542 2

5、4(37)0

7、(5486274)3 8

、9、9 的算术平方根是;(3)2的算术平方根;3的平方根是10、0的立方根是;-8的立方根是;的立方根是

五、解分式方程

2x4

2x0

1 2x1、 2、

x1

32xx1 4、

xx1x3x13、

5x30xx5、 6、

x24

21

x2x4

x33x11

x1x27、2x4x22 8、x1

xx411

0

x1x1x5x69、 10、

x2xx331 1 12、

x13x32x11、x2

746xx1

2222

x13、x1 14、xxxxx1

15、

1x15x233 16、1x22xx(x1)x1

– 3 –

六、解一元二次方程

1、x24x30 2、 x8x90 3、x4x5 4、x3x2 5、3x2x0 6、(x4)25(x4)

2

2

22

7、x322xx30 8、(5x1)23(5x1)0

9、(x3)22(x3) 1011、(x2)216 13、(x1)(x3)8

七、解二元一次方程组

1、

xy3xy1 3、

4x3y54x6y14 5、

5x4y62x3y1

7、3x5z6,x4z15; xy9、437, 23x12y14;

、(x1)(x3)12 12、(x3)216 14、(x3)(x2)120 2、{初中列方程的经典题型}.

4x3y0

12x3y8

4、

4xy5

3x2y1

6、

3x2y7

2x3y17

8、mn2,

2m3n14;

2x13y2 10、54

2,3x135

y240.- 4 –

八、解不等式及不等式组

1、2(2x-3)<5(x-1). 2、 10-3(x+6)≤1. 3、

xx2x1x51 4、 2332

5、

2x10,

6、

3x0

4x0.

x84x17、x5 8

2x4x9、x24x1 x13,11、2x6 13、52x16

x1015、x24x1

4x7711

2x0

、3x21

2x3x1 10、2

x≥x-3 2x11,

12、

x2≤3. 14、2x1x54

3

2

x.

x3(x2)≥4,

12×16、

3x1.- 5 –

篇三:《初一年级数学经典例题》

数学天地:

初一年级数学核心题目赏析

有理数及其运算篇

【核心提示】

有理数部分概念较多,其中核心知识点是数轴、相反数、绝对值、乘方. 通过数轴要尝试使用“数形结合思想”解决问题,把抽象问题简单化.相反数看似简单,但互为相反数的两个数相加等于0这个性质有时总忘记用..绝对值是中学数学中的难点,它贯穿于初中三年,每年都有不同的难点,我们要从七年级把绝对值学好,理解它的几何意义.乘方的法则我们不仅要会正向用,也要会逆向用,难点往往出现在逆用法则方面.

【核心例题】

1111…… 12233420062007

分析 此题共有2006项,通分是太麻烦.有这么多项,我们要有一种“抵消”思想,如能把一些项抵消了,不就变得简单了吗?由此想到拆项,如第一项可拆例1计算:成111111,可利用通项,把每一项都做如此变形,问题1212nn1nn1

会迎刃而解.

11111111()()()……() 解 原式=12233420062007

1111111 =1…… 2233420062007

1 =1 2007

2006 = 2007

例2 已知有理数a、b、c在数轴上的对应点

分别为A、B、C(如右图).化简aabcb. 分析 从数轴上可直接得到a、b、c的正负性,

但本题关键是去绝对值,所以应判断绝对值符号内表达式的正负性.我们知道“在数轴上,右边的数总比左边的数大”,大数减小数是正数,小数减大数是负数,可得到a-b<0、c-b>0.

解 由数轴知,a<0,a-b<0,c-b>0

所以,aabcb= -a-(a-b)+(c-b)= -a-a+b+c-b= -2a+c

11111例3 计算:1

11…11 100999832

分析 本题看似复杂,其实是纸老虎,只要你敢计算,马上就会发现其中的技巧,问题会变得很简便.

999897211……= 解 原式= 100999832100

例4 计算:2-22-23-24-……-218-219+220.

分析 本题把每一项都算出来再相加,显然太麻烦.怎么让它们“相互抵消”呢?我们可先从最简单的情况考虑.2-22+23=2+22(-1+2)=2+22=6.再考虑

2-22-23+24=2-22+23(-1+2)=2-22+23=2+22(-1+2)=2+22=6.这怎么又等于6了呢?是否可以把这种方法应用到原题呢?显然是可以的.

解 原式=2-22-23-24-……-218+219(-1+2)

=2-22-23-24-……-218+219

=2-22-23-24-……-217+218(-1+2)

=2-22-23-24-……-217+218

=……

=2-22+23

=6

【核心练习】

1、已知│ab-2│与│b-1│互为相反数,试求:

111的值. ……a2006b2006aba1b1 (提示:此题可看作例1的升级版,求出a、b的值代入就成为了例1.) 2、代数式abab的所有可能的值有( )个(2、3、4、无数个) abab

【参考答案】

1、

2007 2、3 2008

字母表示数篇

【核心提示】

用字母表示数部分核心知识是求代数式的值和找规律.求代数式的值时,单纯代入一个数求值是很简单的.如果条件给的是方程,我们可把要求的式子适当

变形,采用整体代入法或特殊值法.

【典型例题】

例1已知:3x-6y-5=0,则2x-4y+6=_____

分析 对于这类问题我们通常用“整体代入法”,先把条件化成最简,然后把要求的代数式化成能代入的形式,代入就行了.这类问题还有一个更简便的方

5法,可以用“特殊值法”,取y=0,由3x-6y-5=0,可得x,把x、y的值代入3

282x-4y+6可得答案.这种方法只对填空和选择题可用,解答题用这种方法是不3

合适的.

5解 由3x-6y-5=0,得x2y 3

528所以2x-4y+6=2(x-2y)+6=26= 33

例2已知代数式xnx(n1)1 ,其中n为正整数,当x=1时,代数式的值是 ,当x=-1时,代数式的值是 .

分析 当x=1时,可直接代入得到答案.但当x=-1时,n和(n-1)奇偶性怎么确定呢?因n和(n-1)是连续自然数,所以两数必一奇一偶.

解 当x=1时,

xnx(n1)1=1n1(n1)1=3

当x=-1时,

xnx(n1)1=(1)n(1)(n1)1=1

例3 152=225=100×1(1+1)+25, 252=625=100×2(2+1)+25

352=1225=100×3(3+1)+25, 452=2025=100×4(4+1)+25""

752=5625= ,852=7225=

(1)找规律,把横线填完整;

(2)请用字母表示规律;

(3)请计算20052的值.

分析 这类式子如横着不好找规律,可竖着找,规律会一目了然.100是不变的,加25是不变的,括号里的加1是不变的,只有括号内的加数和括号外的因数随着平方数的十位数在变.

解 (1)752=100×7(7+1)+25,852=100×8(8+1)+25

(2)(10n+5)2=100×n(n+1)+25

(3) 20052=100×200(200+1)+25=4020025

例4如图①是一个三角形,分别连接这个三角形三边的中点得到图②,再分别连接图②中间小三角形三边的中点,得到图③.S表示三角形的个数.

(1)当n=4时,S= ,

(2)请按此规律写出用n表示S的公式.

分析 当n=4时,我们可以继续画图得到三角形的个数.怎么找规律呢?单纯从结果有时我们很难看出规律,要学会从变化过程找规律.如本题,可用列表法来找,规律会马上显现出来的.

解 (1)S=13

(2)可列表找规律:

所以S=4(n-1)+1.(当然也可写成4n-3.)

【核心练习】

1、观察下面一列数,探究其中的规律:

11111—1,,,,, 23456

①填空:第11,12,13三个数分别是 , , ;

②第2008个数是什么?

③如果这列数无限排列下去,与哪个数越来越近?.

2、观察下列各式: 1+1×3 = 22, 1+2×4 = 32, 1+3×5 = 42,""请将你找出的规律用公式表示出来:

【参考答案】

1111,,;②;③0. 13120081112

22、1+n×(n+2) = (n+1) 1、①

平面图形及其位置关系篇

【核心提示】

平面图形是简单的几何问题.几何问题学起来很简单,但有时不好表述,也就是写不好过程.所以这部分的核心知识是写求线段、线段交点或求角的过程.每个人写的可能都不一样,但只要表述清楚了就可以了,不过在写清楚的情况下要尽量简便.

【典型例题】

例1平面内两两相交的6条直线,其交点个数最少为__

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