【话题作文】
第一篇:《二重极限释疑解难》
二重极限释疑解难
问题1：关于二重极限的定义有以下三种不同的说法，试分析比较它们的差异何在？
定义1 设函数zf(x,y)在点P0(x0,y0)的某一邻域内有定义(点P0可以除外)，如果对于每一个任意给定的正数，总存在一个正数，使得对于适合不等式
0(xx0)2(yy0)2
的一切点P(x,y)，所对应的函数值f(x,y)都满足不等式
|f(x,y)A|,
那么，常数A就称为函数zf(x,y)当xx0,yy0时的极限.
定义2 同定义1，但另加附注如下：
如果函数zf(x,y)在点P0的任一邻域中除P0外，尚有不属于函数定义域D的点，但又总有异于P0的属于D的点，那么只要对D内适合不等式0|PP0|的一切点P，有不等式|f(P)A|成立，那么，便称A为函数f(P)当PP0时的极限.
定义3 设函数zf(x,y)的定义域为D，点P0(x0,y0)是D的聚点.如果对于任意给定的正数，总存在正数，使得对于适合不等式
0|P0P|(xx0)2(yy0)2
的一切点P(x,y)D，都有
|f(x,y)A|
成立，那么称A为函数zf(x,y)当xx0,yy0时的极限.
解答：
这三种定义的差异主要在于对函数的前提假设不尽相同.定义1、定义2的主要差异是，前者要求f(x,y)在点P0(x0,y0)的某去心邻域内有定义，而后者允许f(x,y)在点P0(x0,y0)的任一去心邻域内都有使f(x,y)无定义的点.相应地，定义1要求P0的去心邻域内的点P都适合|f(P)A|，可见，定义1对函数的要求高，因而使一些极限无法讨论，限制了极限的应用.至于定义3与定义2本质上是一
样的，不过定义3要事先导入“聚点”概念，这样使极限定义的叙述方便些.例如,极限limsin(xy)，函数的定义域为挖掉x轴的区域，按定义1是不存在，而按x0yy0
定义2和定义3该极限存在且为零.
问题2：当动点(x,y)沿着任一直线无限趋近于点(0,0)时，函数f(x,y)的极限存在且都等于A，能否说函数f(x,y)当(x,y)(0,0)时，二重极限也等于A？ 解答：
x2y不能.例如函数f(x,y)4，x2y20，当动点(x,y)沿着y轴(x0)2xy
无限趋于点(0,0)时，有
fx,y0. limx0y0
当动点x,y沿着任意一条直线ykx（k为任意实数）无限趋近于点0,0时，都有
kx3kxlimf(x,y)lim4lim0. x0x0xk2x2x0x2k2
ykx0
但是，当动点(x,y)沿抛物线yx2无限趋近于点(0,0)时，有
x41limf(x,y)lim4. x0x0xx42yx20
x2y所以，函数f(x,y)4当(x,y)(0,0)时，极限不存在. 2yx
问题3：如果引入极坐标xx0rcos,yy0rsin，且对每一个值都有
f(x0rcos,y0rsin)A (1) limr0
其中A为一个与无关的常数，那么是否必有
limf(x,y)A？ (2) xx0yy0
解答：
不是必有，且通常没有这结论。就是说，通常不能用变换式 xx0yy0limf(x,y)limf(x0rcos,y0rsin) r0
来求二重极限.
因为这里虽说对每个值(1)式都成立，但也不外乎说点(x,y)沿着任一条直线趋向于(x0,y0)，并不是(x,y)以任何方式趋向于(x0,y0)，即使(1)存在，且为一个与无关的常数A，我们还是不能保证(2)式成立.例如极限
xy3
lim2 x0xy6
y0
不存在，因为当(x,y)沿曲线y3kx趋向于(0,0)时，
xy3kx2klim2lim, 62222x0x0xyxkx1ky3kx0
结果与k有关，但若用变量代换：xrcos，yrsin.则有
xy3r4cossin3r2cossin3lim2lim2lim0 x0xy6r0rcos2r6sin6r0cos2r4sin6y0
这个结果显然是错误的.
问题4：判定二重极限不存在，有哪些常用方法？ 解答：
根据重极限的定义，limf(x,y)存在，要求点P(x,y)以任意方式趋向于点xx0yy0
P0(x0,y0)时，f(x,y)趋向同一个常数.因此判定二重极限不存在.常用方法有如下两种：
1） 选取一种PP0的方式，若limf(x,y)不存在，则 PP0
xx0yy0limf(x,y)不存在.
2）
PP0找出两种PP0的方式，分别记为PP0和PP0若P0limf(x,y)A，f(x,y)A，且AA，则
xx0yy0limf(x,y)不存在.
现举例如下：
例1 x21讨论极限lim2sin2. 2x0yxyy0
x211limsin解 因lim2sin2不存在. 22x0yx0xy2xyx0
故原极限不存在.
例2 讨论极限limx0y0xy. x2y2
xykx2klim解 因lim2, 2x0xy2x0(1k2)x21kykx0
其值因k而异，故原极限不存在.
第二篇:《二重极限的计算方法(学年论文)》
二重极限的计算方法小结
内 容 摘 要
本文在二元函数定义基础上通过求对数，变量代换等方式总结了解决二重极限问题的几种方法，并给出相关例题及解题步骤。及二重极限不存在的几种证明方法。
关键词：二重极限 变量代换等 不存在的证明
目 录
序言1 一、 利用特殊路径猜得极限值再加以验证………1{二重极限,聚点}.
(一) 利用特殊路径猜得极限值再加以确定 1 (二) 由累次极限猜想极限值再加以验证2 (三) 采用对数法求极限2 (四) 利用一元函数中重要的极限的推广求两个重要极限3 (五) 等价无穷小代换3 (六) 利用无穷小量与有界函数的积仍为无穷小量4 (七) 多元函数收敛判别方法4 (八) 变量代换将二重极限化为一元函数中的已知极限5 (九) 极坐标代换法6 (十) 用多元函数收敛判别的方法7 二、证明二重极限不存在的几种方法………………………………… 7 总结10 参考文献11
序言
二元函数的极限是在一元函数极限的基础上发展起来的，二者之间既有联系又有区别。对一元函数而言，自变量的变化只有左右两种方式，而二元函数可以有无数种沿曲线趋于某店的方式，这是两者最大的区别。虽然二元函数的极限较为复杂，但若能在理解好概念，掌握解题方法和技巧就不难解决。
对于二元函数的二重极限，重点是极限的存在性及其求解方法。二重极限实质上是包含任意方向的逼近过程，是一个较为复杂的极限，只要有两个方向的极限不相等，就能确定二重极限不存在，但要确定二重极限存在则需要判定沿任意方向的极限都存在且相等。由于二重极限较为复杂，判定极限的存在及其求解，往往因题而异，依据变量(x,y)的不同变化趋势和函数f(x,y)的不同类型，探索得出一些计算方法，采用恰当的求解方法后，对复杂的二重极限计算，就能简便，快捷地获得结果，本文将对二重极限的几种计算方法做一下小结。
一、二重极限的计算方法小结
(一) 利用特殊路径猜得极限值再加以验证
利用二元函数极限定义求极限：根据定义解题时只需找出来。
x3y
例1 讨论f(x,y)2，在点的极限。
xy2
[1]
解 令ymx
x0ymx
lim
x3ymx4m2
limlimx0
x2y2x0ymx(1m2)x01m2
x3y
应为此路径为特殊路径，故不能说明lim0.可以猜测值为0。
x0y0x2y2
下面再利用定义法证明：0，取2
当0
(x0)2(y0)2 有x2x2y22
x3yx3y12x3y12
由于2 即有0xx 222
2xy22xyxy
x3y
故lim0. x0y0x2y2
注意 （1）的任意性
（2）一般随而变化
（3）若函数以A为极限，则对函数在的某去心邻域内有范围（A+，A-）。
(二) 由累次极限猜想极限值再加以验证
先求出一个累次极限，该类此极限是否为二重极限在用定义验证 例2
[2]
设f(x,y)(xy)sin
22
1
(x2y20)。求limf(x,y) 22x0y0xy
解 limlimf(x,y)0可以猜测有极限值为0. 事实上对任意的(x,y)(0,0)
x0y0
有f(x,y)0(xy)sin
22
12222xyxy， 22
xy
0 取
， 当x，y，(x,y)(0,0)时，
2
就有(x2y2)sin
1
0，即有limf(x,y)0 22x0y0xy
(三) 采用对数法求极限
利用初等变形，特别是指数形式常常可以先求起对数的极限。或极限是等未定型，往往通过取对数的办法求得结果。
例3 求 解
1sinxy
x0y0
lim(1xy)
(1xy)
1sinxy
1xy
xysinxy
x0y0
lim
1sinxy
x0y0
limeln(1xy)
x0y0
lime
ln(1xy)
1xy
因为
xyxy
ln(1xy)lne1 1而且lim
x0y0sinxy
1
x0y0
lim
所以
1
sinxy
x0y0
lim(1xy)
e
(四) 利用一元函数中重要极限的推广求两个重要极限
1
lim1lim(1x)xe xx0
xsinx
1 lim
x0x
类似于一元函数，我们可以充分利用所熟知的结论。通过构造变形我们能够化不熟悉为熟悉，进而利用已有的结论而求之
例4{二重极限,聚点}.
[3]
x
1
求（1）lim(1x)
x0y0
1
x(xy)
（2）lim
sinxy
x0yax
解 （1）因为
lim(1x)e，lim
x0
1
x
11
x0y2xy2
所以
1x(xy)
1xy
x0y2
lim(1x)
lim(1x)x0y2
1
x
e
12
（2） 由于
又因为
sinxysinxy
y,y0, xxy
sinxysint
lin1(xyt,x0)
x0yat0txylim
所以
sinxysint
linlinya
x0yat0yxtalim
(五) 等价无穷小代换
利用一元函数中已有的结论对式子进行必要的代换以达到简化的目的，进而求出所要求的极限
33
例5 求limsin(xy)
x0y0xy
33
解 因为x0,y0,故有xy0
第三篇:《二重极限与累次极限的关系与应用论文》
大理学院本科毕业论文
二重极限与累次极限的关系及其应用
The relationship and application of the Double limit and Repeated limit
学 院：
项目组成员： 潘逢生 指导教师 ： 王绍荣 专 业： 数学与应用数学 年级（班级）： 起止日期 ： 2009-6-25至2009-12-20
制表日期：2009年 10 月 1 日
[摘要] 本文主要从累次极限与二重极限的定义出发，总结了累次极限与二重极限 存在性的所有可能发生的情况和有关的定理，对二重极限与累次极限的关系作了一个比较完整的研究。
[关键词] 二重极限；累次极限；存在性；一致趋向{二重极限,聚点}.
[Abstract] In this paper, according to definition of the repeated limit and the double limit, summed up all the possible presence of the repeated limit and the double limit in existence and some related theorems, have a more complete study of the double limit and the repeated limit in existence.
[Keywords] Double limit; repeated limit; existence; the same trend{二重极限,聚点}.
目录
1.前言……………………………………………………………………………1 2. 二重极限与累次极限的区别与联系…………………………………………..1 3.二重极限与累次极限存在性的七种情况……………………………………3 3.1累次极限都存在且相等，但二重极限不存在…………………………….3 3.2累次极限都不存在，二重极限存在……………………………………….4 3.3一个累次极限存在，另一个累次极限不存在，二重极限存在………….4 3.4一个累次极限存在，另一个累次极限不存在，二重极限不存在………….5 3.5累次极限都存在但不相等，二重极限一定不存在………………………..5 3.6累次极限与二重极限都存在且一定相等…………………………………..6 3.7二重极限与累次极限都不存在……………………………………………….6 4.关于二重极限与累次极限的几个定理和问题…………………………………7 4.1二重极限与累次极限存在必相等定理…………………………………….7 4.2二重极限存在时累次极限也存在的条件…………………………………8 参考文献……………………………………………………………………….10 致谢…………………………………………………………………………….11{二重极限,聚点}.
1前言